PROPRIÉTÉS DES FRACTIONS
Notions préliminaires.
178. Jusqu'ici nous avons considéré les nombres entiers^ c'est-à-dire le cas oii l'unité choisie est contenue exactement dans la grandeur à mesurer (3).
Si cette condition n'est plus remplie» il peut arriver qu'une certaine partie aliquote de l'unité (c'est-à-dire contenue exactement dans l'unité) soit elle-même comprise exactement dans la grandeur qu'on veut évaluer. On dit alors que le rapport de la grandeur à son unité et le nombre qui représente ce rapport sonx. fractionnaires.
Si la septième partie de l'unité est renfermée a3 fois dans la grandeur à mesurer, on dit que cette grandeur est égaie aux 23 septièmes de Tunité : aS septièmes» surpassant l'unité qui vaut 7 septièmes, est un nomhtefractionruiire.
Si la septième partie de l'unité est renfermée 5 fois dans la grandeur à mesurer» on dit que cette grandeur est égale aux 5 septièmes de l'unité : 5 septièmes, tombant au-dessous de l'unité, est nmà fraction proprement dite.
Les mêmes règles de calcul s'étendent d'ailleurs aux nombres fractionnaires et aux fractions» et l'on ne doit établir entre eux aucune distinction.
lOa ARITHMÉTIQUE.
On peut définir une fraction : une ou plusieurs parties de l'unité divisée en parties égales.
179. Pour exprimer une fraction, il faut deux nombres, qui sont les termes de la fraction : l'un, appelé dénominateur, indique en combien de parties égales il a fallu diviser l'unité ; l'autre, appelé numérateur, indique combien on a dû prendre de ces parties.
Pour écrire une fraction, on écrit le dénominateur au-dessous du numérateur, et on les sépare par un trait horizontal :
23 5 23 septièmes, 5 septièmes s'écrivent — » -•
7 7 On énonce une fraction en énonçant successivement ses
deux termes, et en faisant suivre l'énoncé du dénominateur
de la terminaison ième, excepté lorsque ce dénominateur est
2, 3 ou 4- Ainsi on énonce les fractions -9 779 -7 en disant
un demi, deux tiers, trois quarts.
Une fraction est plus grande ou plus petite que i, c'est-à-dire qu'elle est un nombre fractionnaire ou une fraction proprement dite, suivant que son numérateur est plus grand ou plus petit que son dénominateur. Elle représente Tunité, lorsque son numérateur et son dénominateur sont égaux.
180. On peut convertir un entier en fraction de dénominateur donné.
Soit 3 à convertir en septièmes. Chaque unité valant 7 septièmes, 3 unités vaudront 21 septièmes et Ton aura 3 = 2.
On doit donc multiplier l'entier par le dénominateur donné,
et donner ce dénominateur au produit.
11 en résulte que tout nombre entier peut être regardé comme une fraction dont il est le numérateur et qui a pour dénominateur Vunité. On a
5 = ou 5 = - •
Cette remarque est importante, parce qu'elle permet d'ctendre immédiatement les théorèmes concernant les fractions au cas où quelques-unes de ces fractions seraient remplacées par des nombres entiers.
ARITHMÉTIQUE. Io3
181. Une expression fractionnaire étant donnée^ on peut extraire les entiers qu'elle contient,
Soli— • Autant de fois cette expression renferme 9 neuvièmes, c'est-à-dire autant de fols 43 contient 9, autant elle renferme d'entiers. 43 contenant 4 fois 9 avec un reste 7, on
peut écrire — = 4 + -- On doit donc diviser le numérateur
par le dénominateur : le quotient représente Us entiers demandés, et le reste est le numérateur de la fraction complémentaire.
Réciproquement, si l'on donne une expression telle que 4 + ~9 on peut réduire les entiers en fraction ayant aussi 9 pour dénominateur et écrire
182. Dé deux fractions ayant même dénominateur^ la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur^ puisqu'elle contient plus des mêmes parties de l'unité.
De deux fractions ayant même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur, puisqu'elle contient le même nombre de parties plus grandes de l'unité.
183. I. Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise le numérateur d'une fraction par un certain nombre, on multiplie ou l'on di' vise la valeur de la fraction par ce nombre.
est une fraction 3 fois plus grande que -» puisqu'elle
6 i5 • 3 renferme 3 fois plus de septièmes. A son tour, - ou — '— est
une fraction 3 fois plus petite que — •
184. II. Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise le dénominateur d'une fraction par un certain nombre, on divise ou Von multiplie la valeur de la fraction par ce nombre,
est une fraction 2 fois plus petite que -• £n effet, si
l'on divise l'unité en 7 parties, puis en i4 parties égales, chaque
Io4 ARITHMÉTIQUE.
septième contient 2 quatorzièmes; en d'autres termes, les quatorzièmes sont 2 fois plus petits que les septièmes.
A son tour, - ou —, — est une fraction 2 fois plus grande 7 14:2 ^ ®
que -7»
