Si Von doit retrancher l'un de Vautre des entiers

De C— Cours. I. 8

suivis de fractions, on retranche à part les entiers et les fractionsy en commençant par soustraire les fractions.

Il peut arriver, en effet, que le plus grand entier soit joint à la plus petite fraction. Dans ce cas, on augmente le plus petit numérateur du dénominateur commun des fractions, ce qui revient à augmenter d'une unité la plus petite fraction; par compensation, on ajoute aussi une unité au plus petit entier.

IQ 5

Soit à soustraire 4 -f- -3 de la -*- 7 — Les deux fractions ré-

duites au plus petit dénominateur commun deviennent rr?

et ^- On augmente alors la fraction ^ d'une unité ou de

7^9 ce qui revient à ajouter 84 au numérateur 10. On dispose le calcul comme il est indiqué, en ajoutant en même temps 10 et 84 et en retranchant 57 de leur somme.

Hnltiplication.

206. Si le multiplicateur est un entier, la multiplication a pour but de répéter le multiplicande autant de fois que le multiplicateur contient d'unités.

Si le multiplicateur est une fraction, la multiplication a pour but de partager le multiplicande en autant de parties égales qu*il y a d* unités dans le dénominateur de la fraction multiplicateur, et de prendre autant de ces parties qu'il jr a d'unités dans le numérateur de cette fraction.

Le résultat de l'opération s'appelle produit*

Si Ton voulait réunir ces deux énoncés en un seul, on poui^ rait dire que, pour obtenir le produit, il faut opérer sur le multiplicande comme on a opéré sur l'unité pour obtenir le multiplicateur. '

AKITHMÉTIQUE. 1 1 5

MaltipHer lo par 4» c'est répéter lo, 4 fois; multiplier lo par -9 c'est répéter a fois la septième partie de lo, c'est en

prendre les -•

Le produit est supérieur» inférieur ou égal au muliiplirande» suivant que le multiplicateur est supérieur, inférieur ou égal à l'unité.

207. Pour multiplier deux fractions l'une par l'autre, il uifjit de les multiplier terme à terme,

3 5 5 Soient les fractions 7 et -• On a pour but de prendre les-

3 3 3 de 7- Le septième de j est égal à 7 (184); pour répéter

5 fois ce septième ou pour multiplier la fraction y par 5,

iisufflt de multiplier son numérateur par 5 (183). Le résultat

cherché est donc bien égal à 7 •

Ainsi

Si l'on avait eu - à multiplier par ^» on aurait trouvé

Nous savons (66) que 3x5 = 5x3 et que 4x7 = 7x4»

3 5 5 3 Par suite, on peut écrire ^x-^-Xt» ce qui démontre • *^ 4 7 7 4^

qu'o/i ne change pas le produit de deux facteurs fraction^ naires en renversant leur ordre.

208. Pour multiplier un entier par une fraction ou une fraction par un entier, on multiplie le numérateur de la fraction par l* entier et l'on donne au produit le dénominateur de

la fraction,

Soit 7X4* On peut (180) regarder 4 comme une fraction

1 16 AKITHMÉTIQUE.

fljant pour déocwinateur l'unité. On a donc

Ce dernier résultat correspond k celui déjà trouvé ( 183}. De même

On a évidemment

Le théorème relatif au changement d'ordre de deux fac^ teurs est donc vrai, que ces facteurs soient tous les deux entiers^ tous les deux fractionnaires, ou l'un entier et Vautre fractionnaire,

• ^ S ^£2 1 1 209. Soit un produit de plusieurs fractions - X - X ?f X -55-

Cette expression signifie qu'il faut multiplier la première fraction par la deuxième, le résultat obtenu par la troisième et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les fractions. Il est évident (207) qu'on obtiendra le résultat défini tif en mu/tipliant terme à terme toutes les fractions proposées.

Il faut avoir soin A' indiquer \q résultat avant d* effectuer les calculs» afin de pouvoir supprimer tous les facteurs communs que peuvent présenter les termes de la fraction résultante. Reprenons l'exemple donné : on a

9^7^35^ 8 ""gxyxâSx tt'

On peut diviser les deux termes par 4» en supprimant le facteur 4 du numérateur et en remplaçant par 2 le facteur 8 du dénominateur. On peut les diviser par 5, en supprimant le facteur 5 au numérateur et en remplaçant par 7 le facteur 35 du dénominateur. On peut les diviser par 7, en remplaçant par 6 le facteur 4^ du numérateur et en supprimant l'un des facteurs 7 du dénominateur. Enfin on peut les diviser par 6 en supprimant ce facteur au numérateur; au dénominateur.

AUITHMÉTIQTTE. I IJ

on remplace par compensation le facteur 9 par 3, et Ton supprime le facteur 2. 11 reste alors, pour le produit cherché^ la

fraciion r ou —

210. Puisque le produit de plusieurs fractions est une fraclion qui a pour numérateur le produit de tous les numérateurs, et pour dénominateur le produit de tous les dénominateurs des fractions proposées, il en résulte que ce produit ne . change pas, quel que soit l'ordre des facteurs fractionnaires. Ed effet, le produit des numérateurs reste le même quel que soit leur ordre, et il en est de même du produit des dénominateurs (66).

Le théorème général du changement d'ordre des facteurs est donc vrai, que les facteurs considérés soient tous entiers ou tous fractionnaires,' que les uns soient entiers et les autres fractionnaires; car, dans ce dernier cas, on peut regarder les facteurs entiers comme des facteurs ayant pour dénominateur Tuniié.

211. Pour multiplier des entiers suivis de fractions, on réduit respectivement chaque entier en fraction de même espèce que celle qui le suit, et Ton applique les règles précédentes aux résultats obtenus.

II n

Soit 8 H à multiplier par 5 H- — • On réduit 8 en neu-

vièmes et Ton remplace le multiplicande par la fraction — • On

Traduit 5 en douzièmes, et l'on remplace le multiplicateur par

6n la fraction — • On a alors