h— X 5-1--^ =— X~ = — - — - = — u-=5r H rj

Division.

212. La division a pour but, étant donnés un produit appelé dividende et l'un de ses facteurs appelé diviseur, de trouver l'autre facteur appelé quotient.

Cette définition est générale. Elle s'applique aux nombres

Il8 ÀRITHllfÉTIQinE.

entiers, lorsque la division s'effectue sans reste; nous allons prouver qu'elle s'étend aussi au cas d'un reste.

Soit 38 à diviser par 5. On trouve pour quotient 7 et pour reste 3. 38 est donc compris entre les produits du diviseur 5 par les entiers consécutifs 7 et 8. Si la définition peut s'étendre à ce cas, il faut donc que 38 soit le produit exact du diviseur 5 par un nombre fractionnaire plus grand que 7 et plus petit que 8.

En effet, le quotient de la division de deux nombres quelconques est une fraction ayant pour numérateur le dividende et pour dénominateur le diviseur. Pour le prouver, reprenons l'exemple proposé et soit 38 à diviser par 5. Si l'on multiplie

le diviseur 5 par la fraction -7-» on obtient — ^ — (208), c'esi-

à-dire le dividende 38 : cette fraction -^ est donc bien le quotient cherché.

Si l'on extrait les entiers contenus dans l'expression -^%

c'est-à-dire si Ton effectue la division de 38 par 5 suivant la règle donnée pour les nombres entiers, on a

La partie entière 7 du quotient complet s'appelle quotient entier des deux nombres 38 et 5; le quotient complet

ou 7 + 7 s'appelle simplement quotient de ces deux nom-

.bres. On voit que, pour compléter le quotient entier, il suffit de lui ajouter une fraction ayant pour numérateur le reste de la division effectuée suivant la méthode ordinaire ^ et pour dénominateur le diviseur.

213. Jusqu'à présent nous avons indiqué la division de deux nombres, au moyen du signe :. Le quotient de cette division étant une fraction ayant pour numérateur le dividende et pour dénominateur le diviseur, le signe : pourra être désormais remplacé par une barre de fraction entre les deux nom* bres. Ainsi nous regarderons les deux expressions 38:5 et

^ comme équivalentes.

AHITHMÉTIQUE. I JQ

SH. Soit maintenant à -diviser l'une par Vautre les deux

fractions t ^' - •

Le dividende j doit être égal au diviseur - multiplié par le

quotient ou à ce quotient multiplié par- (208); en d'autres

termes, le dividende j représente les - du quotient (206); La