Lorsqu'une fraction est irréductible, toutes ses pui

sances sont des fractions irréductibles. Car nous avons démontréque, lorsque deux nombres sont premiers entre eux, leurs puissances sont premières entre elles ( IM, 2**).

Par conséquent : i^ aucun nombre entier ne peut être égala une puissance quelconque d* une fraction irréductible; 2® de plus, lorsqu'une fraction irréductible est une puissance exacte d'un certain degré, ses deux termes sont des puissances exactes

de ce même degré. Si Ton a la fraction irréductible ^ qui

soit un cube parfait, elle ne peut Tètre, d'après ce qui pré-

a cède, que d'une <;ertaine fraction t qu'on peut toujours supposer irréductible. Par suite.

La dernière fraction étant irréductible, et deux fractions irréductibles égales étant identiques ( 190), on a

A = a» et B = b\

GénéraliBation des théorèmes relatifs ans opérations.

220. Nous avons déduit précédemment du théorème fondamental sur le changement d'ordre des facteurs une série de théorèmes très-importants au point de vue du calcul (67 et suivants). Ayant étendu ce même théorème fondamental au cas des facteurs fractionnaires, nous pouvons regarder tous les autres théorèmes comme démontrés aussi pour ce dernier cas. Nous nous contenterons donc d'en rappeler les énoncés :

!• Pour multiplier ou diviser un nombre par un produit de plusieurs facteurs, on peut multiplier ou diviser ce nombre par le premier facteur, le résultat obtenu par le second facteur, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les facteurs (67, 1 et 70).

2" Pour multiplier deux produits de plusieurs facteurs, on forme un produit unique avec les facteurs du multiplicande et ceux du multiplicateur (67, II);

3" Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut en remplacer un nombre quelconque par leur produit effectué {67, lll);

£22 AniTHMÉTIQUE.

4" Pour diviser un produit par Vun de ses facteurs, il suffit de supprimer ce facteur ( 69 ) ;

5* Pour multiplier ou diviser un produit de plusieurs facteurs par un nombre, il suffit de multiplier ou de diviser l'un des facteurs du produit par ce nombre ( 67, IV el 69);

6" Pour multiplier ou diviser deux puissances d*un même nombre, il suffit d'ajouter ou de retrancher les exposants de ces puissances (73, 75);

7** Pour élever une puissance à une autre puissance, il suffit de multiplier les exposants de ces puissances (74);

8" Pour élever un produit à une puissance, il suffit d'élever ses facteurs à cette puissance (76).

Arithmétique. I23