DES NOMBRES DÉCIMAUX

Notions préliminaires.

221. Nous avons vu (12) que la numération écrite repose sur ce principe : que tout chiffre placé à la droite d'un autre vaut dix fois moins que s'il était à la place de cet autre. Nous oous sommes arrêté, pour l'application de cette convention, au chiffre des unités; mais rien n*empêche de la poursuivre à droite de ce chiffre.

Si une grandeur renferme 5 unités, plus un certain reste, on pourra chercher combien ce reste renferme de dixièmes de l*unité puis combien le nouveau reste obtenu renferme de dixièmes de dixième ou de centièmes de l'unité, et ainsi de suite.

. Le nombre qui exprime combien une grandeur contient d'unités et de parties de dix en dix fois plus petites de l'u- Dîié s'appelle nombre décimal; ces parties de dix en dix fois * plus petites de l'unité sont les unités des divers ordres décimaux.

Les chiffres qui représentent les dixièmes, les centièmes^ les millièmes d'unité s'appellent chiffres décimaux ou déci-moles, et leur ensemble constitue la partie décimale du nombre proposé, par opposition à sa partie entière. Pour qu'on ne confonde pas dans l'écriture des nombres décimaux la partie entière et la partie décimale, on les sépare par une virgule.

Si un nombre décimal doit représenter 5 unités, 7 dixièmes, g centièmes, o millième, 4 dix-millièmes, on place une virgule après le chiffre 5, et à droite de cette virgule, d'après la convention générale rappelée précédemment, on écrit successivement les chiffres 7, g, o, 4- On a ainsi 5,7904.

1^4 ÀHITHMÉTIQUE.

222. Il est important de remarquer que les nombres décimaux ne sont en réalité que des expressions fractionnaires ayant pour dénominateur une puissance quelconque de dix.

Ainsi le nombre décimal 9,527 revient à 9 H • ' '

, 0000 5oo 9.0 n ..... oS?.*? ou a ^ 1 1 1 i— , c est-a-dire a =^ — ^.

louo 1000 1000 1000 1000

On voit que, pour obtenir la fraction qui correspond à un nombre décimal donnée il faut prendre pour numérateur le nombre décimal lui-même^ abstraction faite de la virguley et pour dénominateur l'unité suivie d'autant de zéros que le nombre proposé contient de chiffres décimaux.

Réciproquement, toute fraction ayant oour dénominateur une puissance de 10 représente un nombre décimal qui est formé des mêmes chiffres que le numérateur de la fraction et qui contient autant de décimales quiljr a de zéros au dénominateur de cette fraction. Ces sortes de fractions s'appellent/rac/Zo/i^ décimales eise confondent entièrement avec les nombres décimaux.

Lecture et éciitore des nombres décimaiiz.

223. On peut d'abord remarquer que, dans un nombre décimal, les chiffres placés dans la partie entière et dans la par-, tie décimale, à égale distance du chiffre des unités, se cor* respondent en ce sens que, si le chiffre placé trois rangs plas loin vers la gauche représente des mille, le chiffre placé trois rangs plus loin vers la droite représente des millièmes. Les mêmes noms se répètent donc à gauche et à droite du chiffre des unités, sauf la terminaison ième qui caractérise les fractions.

Cela posé, si le nombre des chiffres décimaux n'est pas trop grand, on énonce à part la partie entière et à part la partie décimale, en regardant le dernier chiffre décimal comme représentant les unités simples de cette partie décimale.

Ainsi les nombres 4,6^58 et 10,807052 s'énoncent 4 unités, 6258 dix-millièmes, et 10 unités, 307062 millionièmes. En effet, 6 dixièmes valent 60 centièmes ou 600 millièmes ou 6000 dix-millièmes; 2 centièmes valent 20 millièmes ou 200 dix-millièmes; 5 millièmes valent 5o dix-millièmes, etc.

àhithmétique. ia5

Quelquefois on réunit dans renoncé la parlie entière et la partie décimale. Ainsi le nombre 87,017 peut s'énoncer 87017 millièmes. En effet, i unité vaut 1000 millièmes.

Si le nombre des chiffres décimaux est considérable, comme UD dixième vaut dix centièmes ou cent millièmes et qu'un centième vaut dix millièmes^ comme un dix-millième vaut dix cent-millièmes ou cent millionièmes et qu'un cent^millième vaut dix millionièmes, etc., on pourra former la tranche des millièmes, celle ées millionièmes^ celle des billionièmes^ etc., comme on a formé la tranche des mille, celle des millions, celle des billions^ etc. De sorte que, pour lire la partie décimale, on la partagera en tranches de trois chiffres à partir de la virgule (la dernière tranche à droite pourra n'avoir qu'un ou deux chiffres) et l'on énoncera chacune de ces tranches en désignant l'espèce d'unité représentée par son dernier chiffre à droite. On verra mieux, en opérant de cette manière, quelle importance on doit accorder aux différents chiffres décimaux.

D'après ce que nous venons de dire, le nombre

s'énonce : 4^78 unités, 607 millièmes, 812 millionièmes, 704 billionièmes, 781 trillionièmes, 2 cent-trillionièmes.

224. Pour écrire un nombre décimal^ il suffit d 'écrire la partie entière et la partie décimale telles qu'elles sont énon^ cées, en ayant soin de remplacer par des zéros les tranches ou parties de tranches qui peuvent manquer, soit dans la partie entière, soit dans la partie décimale.

Ainsi les nombres 57 unités, 325 millièmes, et 10 unités^ 307052 millionièmes, s'écrivent

57,325 et 10,307052.

De même on écrit le nombre 82625 unités, 82 millièmes, 5i2 millionièmes, 3 dix-billionièmes :

(' ) Si l'on arait énoocé la partie décimale de ce même nombre sous la forme : troi> cent vingt-cinq millions cent vingt mille trois dix-billionièmes, il aurait Cillu remarquer que le dernier chiffre décimal devant représenter des dix-bil-

Lorsque le nombre proposé ne renferme pas de partie entière, on la remplace par un zéro. 25 dix-millièmes s'écrivent o,oo25.

Enfîn, 4^57 centièmes s'écrivent 4^^,57, en plaçant la virgule de manière que le dernier chiffre 7 représente des centièmes.

225. En résumé, quand on lit un nombre décimal, la seule difficulté est de donner au dernier chiffre décimal le nom qui convient au rang qu'il occupe; quand on écrit un nombre décimal, la seule difficulté est de placer le dernier chiffre décimal au rang énoncé.

226. On ne change pas la valeur d'un nombre décimal en écrivant des zéros à sa droite^ En effet, 2o5 millièmes, par exemple, équivalent à 2o5o dix-millièmes ou à ao5oo centmillièmes, etc.

Il est utile de remarquer, d'après cela, que tout nombre entier peut être regardé comme un nombre décimal dans lequel il n'y a que des zéros après la virgule.

Pour multiplier ou diviser un nombre décimal par l'unité suivie d'un nombre quelconque de zéros, il suffit de reculer la virgule d* autant de rangs vers la droite ou vers la gauche qu^il X a de zéros après l'unité.

En effet, chaque chiffre du nombre proposé représente alors des unités 10, 100, 1000 fois plus grandes ou plus petites.

227. Il ne faut jamais perdre de vue que les nombres décimaux proviennent d'une simple extension des conditions générales de la numération aux parties de l'unité qui sont de dix en dix fois plus petites, c'est-à-dire aux parties de l'unité dont la succession graduée a lieu comme celle à laquelle les unités des différents ordres entiers obéissent. On pourra donc soumettre aux mêmes règles de calcul la partie entière et la partie décimale des nombres décimaux; et la seule recherche sera la place que la virgule doit occuper dans le résultat.

lionièmes et dix billions indiquant dix rangs à gauche du chiffre des unités, la partie décimale doit contenir nécessairement dix chiffres, pour que le chiffra des dix-biUionièmes se tron«'e dix rangs à droite du chiffre des nnités (223). Par suite, on aurait complété ces dix chiffres en écrivant un zéro entre la Tirgule et le premier chiffre significatif de la partie décimale énoncée.

AmTHMÉTIQUE. 1 97

Addition et sonstraction.

S28. En se reportant à la remarque qui précède, on suit» pour additionner et soustraire les nombres décimaux, des règles identiques à celles indiquées pour les nombres entiers (21,27).

Pour que les unités de même ordre se trouvent rangées dans une même colonne verticale, il suffit d'écrire les nombres proposés les uns au-dessous des autres de manière que leurs virgules se correspondent.

Exemples :

Lorsque, dans la soustraction, le plus grand nombre contient le moins de chiffres décimaux, on écrit à sa droite autant de zéros*qu'il est nécessaire (226) pour que les deux nombres proposés contiennent le même nombre de cbiifres décimaux. Soit à soustraire 15,30721 de 29,815; on indiquera Topération comme il suit :

29,81 5oo 15,30721

HnlUplication.

229. Pour multiplier deux nombres décimaux, on effectue leur produit en faisant abstraction de la virgule dans chacun d'eux, et l'on sépare sur la droite de ce produit autant de décimales qu'il jr en a dans les deux facteurs.

Soit 325,948 à multiplier par 19,72. En faisant abstraction de la virgule dans le multiplicande, on le multiplie par 1000, et en faisant abstraction de la virgule dans le multiplicateur, on le multiplie par 100. On peut donc écrire

l a8* ARITHMETIQUE.

Par suite,

Division.

230. La division des nombres décimaux présente deux cas: 1° le diviseur est entier; 2^ le diviseur est un nombre décîftial. Le second cas se ramène au premier. *

i^ Soit à diviser 493,607 par 78. En divisant 493607 par 78, on trouve 6328 pour quotient et 23 pour reste; en divisant 493607 millièmes par 78, on trouvera donc 6328 millièmes pour quotient et 28 millièmes pour reste.

On voit que, pour diviser un nombre décimal par un nombre entier, il faut faire abstraction de la virgule au dividende et séparer sur la droite du quotient et du reste obtenus autant de décimales que ce dividende en contient; ce qui revient, dans la pratique, à mettre une virgule au quotient aussitôt que l'opération conduit à abaisser le premier chiffre décimal du dividende.

Le quotient demandé est, dans l'exemple proposé, 6,328 et le reste 0,028.