RÉDUCTION DES FRACTIONS ORDINAIRES EN DÉCIMALES
ÉTalnation approchée des grandenrs et des nombres.
234. Évaluer une grandeur à moins d'une unités c'est trouver le plus grand nombre d'unités qu'elle contient. Si, par exemple, la grandeur considérée est plus grande que m unités et moindre que m h- i unités, ces deux nombres expriment la mesure de cette grandeur à moins d'une unité, le premier par défaut, le second par excès.
Évaluer une grandeur d moins de-t c'est trouver le plus
grand nombre de fois qu'elle contient la n'''^ partie de l'unité. Si, par exemple, cette grandeur est supérieure à m fois, et inférieure à m -h I fois lan*'*^ partie de l'unité, les deux nombres
- et expriment la mesure de la grandeur considérée à
moins de -9 le premier par défaut, le second par excès. n
Ces définitions s'appliquent à la fois aux grandeurs et aux
nombres qui les représentent.
235. Pour évaluer une fraction à moins d'une unité, il suffit de prendre l'entier qui y est contenu ou l'entier immédiatement supérieur.
Ainsi, la fraction — ^ étant égale à 3 H -^» les nombres 3
* loo lob
et 4 sont les valeurs approchées de cette fraction à moins
d'une unité, la première par défaut, la seconde par excès.
236. Pour évaluer une fraction à moins de -> il suffi td^éva-
l3a ARITHMÉTIQUE.
luer le produit de cette fraction par n à moins d'une unité, et de diviser ensuite par n l'un des deux entiers ainsi obtenus.
Soit la fraction -r» Représentons par a; le plus grand nombre de n*^" qu'elle contient* Nous aurons à la fois
X ^a ^ x-hi ^ a no no
c'est-à-dire, en multipliant par n les fractions comparées, . x<.—r— et x-^-i^—r —
La fraction — -r — étant comprise entre les deux entiers consécutifs ^ etar-Hi, on n'a, pour trouver l'inconnue^, qu'à
extraire l'entier contenu dans la fraction — r —
333 I Si l'on^veut, par exemple, évaluer la fraction — -^ à - près,
333x7 233j[ io5^
par conséquent, les deux valeurs approchées demandées sont
— et — La valeur par excès diffère très-peu de la fraction
donnée. La différence est ^ ^ ou -7-«
237. Pour qu'une fraction soit exactement réductible en fraction de dénominateur donnée il faut et il suffit que son dénominateur divise exactement le dénominateur donné.
Soit la fraction -r qu'on peut toujours supposer irréductible
et qu'on veut réduire en n'*^'. Si x représente son nouveau numérateur, on doit avoir
- = r ou x=2 — T — • no o
X devant être un nombre entier, et 6 étant premier avec a, il
- AHITHMÉTIQUE. l33
faut et il suffît, pour que la transformation réussisse, que b divise exactement n.
Réduction des flractions ordinaires ^n décimales.
238. Nous avons vu (Chap. II) que les règles du calcul des fractions entraînaient une complication plus grande que les règles du calcul des entiers. En effet, l'addition et la soustraclion des fractions exigent toujours qu'on les réduise préalablement au même dénominateur; et leur multiplication et leur division renferment une double opération sur des nombres entiers. D'autre part, le calcul des nombres décimaux (Chap. m ) ne présente en réalité aucune différence avec celui des nombres entiers, et permet d'obtenir le résultat cherché avec une approximation plus Facile à apprécier que lorsqu'on complète la partie entière de ce résultat à Taide d'une fraction. On est donc conduit à chercher à remplacer les expressions fractionnaires par des expressions décimales équivalentes : c'est ce qu'on appelle réduire une fraction ordinaire en décimales,
239. Soit la fraction -• Réduire cette fraction en décimales,
c'est chercher à combien de dixièmes, de centièmes, de millièmes, etc., elle équivaut. En d'autres termes, puisque la
fraction - représente le quotient de 5 par 7 (212), c'est effec-
tuer la division de 5 par 7 à un dixième, un centième, un millième près (233). Il en résulte immédiatement que, pour réduire une fraction ordinaire en décimales y il faut ajoutera la droite de son numérateur autant de zéros que V expression décimale cherchée doit contenir de chiffres décimaux^ et diviser le nombre ainsi obtenu par le dénominateur de la fraction. Dans la pratique, on n'écrit pas ces zéros, on les ajoute succès^ sivement à la droite des restes partiels , et l'on écrit une virgule
au quotient dès qu'on est conduit à employer un premier zéro,
D'après cela, l'expression décimale de - en millionièmes
sera o, 7 14285 à moins d'un millionième par défaut ou o, 7 14^86
à moins d'un demi-millionième par excès (232).
L'expression décimale de — en millièmes sera 40*7^4 ^
l34 ARITHMÉTIQUE. '
moins d'un demi-millième par défaut (232). 5o
lO
Le théorème du n"* 236 conduit à la même règle; car, si l'on veut trouver la valeur de la fraction -r à moins de — -9 il faut
extraire l'entier contenu dans l'expression — r — > et le diviser ensuite par lo^.
2M. Il X a deux cas à distinguer : ou la réduction est possible exactement, c'est-à-dire que la division poursuivie convenablement conduit à un reste nul; ou la réduction est impossible exactement, c'est-à-dire que la division continuée indéfiniment ne se termine jamais.
241. I. Pour qu'une fraction ordinaire 89 réduise exactement en décimales, il faut et il suffit que son dénominateur ne contienne pas d'autres facteurs premiers que 2 6/5, et le plus grand des exposants de ces facteurs indique le nombre de chiffres décimaux de l'expression décimale équivalente à la fraction donnée.
Soit, en effet, la fraction irréductible t* H résulte du n'' 236
que, pour qu'elle se réduise exactement en décimales, il faut et il suffit qu'on puisse multiplier a par une puissance de 10,
telle que l'expression -, se réduise à un entier x. Or
il faut, pour qu'il en soit ainsi, que b divise exactement 10'' ou 2^x5''; ce qui exige (151) que b ne renferme que des facteurs premiers a et 5, et que p soit au moins égal à l'exposant le plus élevé de ces facteurs.
Supposons qu'on ait 6 = 2''X 5^ et />> q. Il vient (74)
Si l'on a simplement b = 2^, on trouve x=iax5p.
ARITHMÉTIQUE. l35
On peut donc obtenir immédiatement les cliiffres qui composent l'expression décimale cherchée, sans effectuer aucune
division. Soit, par exemple, la fraction g qui est exactement
réductible en décimales, puisque son dénominateur 8 = ?.*. On a, dans ce cas, p = 3 et x = '] x S^=S']S; par suite,
242. 11. Lorsque le dénominateur de Infraction donnée contient des facteurs premiers étrangers aux facteurs 2 et 5, ia réduction exacte est impossible^ et le quotient illimité qu'on
obtient est périodique.
S'il s'agit, par exemple, de la fraction -9 quelle que soit la
puissance de 10 par laquelle on multiplie le numérateur 5,
on ne pourra jamais introduire au dividende le facteur premier 7; la division n'aura donc jamais de fin (151).
De plus, les restes successivement obtenus seront toujours inférieurs au diviseur, et, comme on ne peut trouver le restée, on ne pourra obtenir que les six restes i, 2, 3, 4> ^t ^* P^r conséquent, après six divisions au plus, un des restes déjà trouvés reparattra ; ce reste ramènera le même dividende partiel et le même chiffre du quotient, et, puisqu'on sera alors dans des conditions identiques à celles où l'on était placé à la première apparition de ce reste, les chiffres du quotient, à partir du chiffre considéré, se reproduiront d'une manière indéfinie, périodiquement et dans le même ordre. On dit alors que ce quotient est un quotient décimal périodique ou une fraction décimale périodique.
5o 3o ôo
Pour la fraction -9 on trouve les six restes possibles dans un
l36 ARITHMÉTIQrE,
ordre îrrégulier; après quoi, le premier reste 5 reparaît. Le quotient périodique est donc
Rennarquons que ce quotient représente - à un dixième, à un
centième,..., à un millionième près, suivant qu'on s'arrête au
premier, au deuxième,..., au sixième cliijdre décimal. Onap-
proche donc autant qu'on veut de -9 à mesure qu'on prend au
quotient un plus grand nombre de chiffres, et l'on peut écrire
que - est (197) la limite de ce quotient illimité ou
- =limite de 0,714285 714285 714285 71....
L'ensemble des chiffres qui se reproduisent constitue \2i période de la fraction décimale périodique considérée. On peut remarquer que cette période contient au plus 6—1 chiffres, si le dénominateur de la fraction ordinaire génératrice est 6.
La période peut commencer immédiatement après la virgule : la fraction est alors dite périodique simple.
La période peut commencer un certain nombre de rangs après la virgule : la fraction est alors dite périodique mixte. L'ensemble des chiffres placés entre la virgule et la partie périodique, chiffres qui ne se reproduisent pas, constitue la parti^non périodique.
Ainsi 0,365365365... est une fraction décimale périodique simple, dont la période est 365.
De même, 0,42 365365 365... est ime fraction périodique mixte, dont la période est 365 et dont la partie non périodique est 42.
243. Lorsque deux f motions ordinaires, réduites en décimales, conduisent au même quotient décimal périodique, elles sont équivalentes, puisqu'elles ont les mêmes valeurs approchées à un dixième, à un centième, ,.. y à un millionième près,,..
ARITHMÉTIQUE. iSj
Des firactions décimales périodiques.
îhh, I. Toute fraction ordinaire, dont le dénominateur est premier avec lo, conduit à une fraction décimale périodique
simple.
Soîi, en effet, la fraciion Irréductible t» dont le dénomina-
leuré est premier avec lo. Il faut, pour la réduire en décimales, diviser par le dénominateur b le numérateur a suivi d'un nombre quelconque de zéros (239). Les dividendes successifs sont donc
a, axio, ^?Xio% flXio',...;
le quotient étant périodique (242), désignons par ax lo' et flXio* deux dividendes donnant des restes égaux. Leur différence sera alors un multiple de i (93). En supposant /r>/, cette différence peut s'écrire (73)
lo/x («X loW— a);
6 étant premier avec lo/, puisqu'il est premier avec lo (142)> il faut [14^0] quMl divise exactement le facteur
(aXioW— rt).
Il en résulte (9^) que, dans la série des opérations effectuées, les deux dividendes a et aX io*~/ donnent des restes égaux. Le premier reste qui reparaît correspond donc au premier dividende a, et le quotient décimal illimité qu'on obtient est, par suite, périodique simple (2k2).
2i5. On peut encore démontrer le théorème précédent et le compléter en s'appuyant sur les premiers principes de la T/iéoHe des nombres (Liv. Il, Chap. VI).
Soit, par exemple, la fraction irréductible — ? qu*on veut convertir on décimales. Les dividendes successifs sont, comme on vient de le dire, (i) 8, 8 X lo, 8 X lo', 8xio*,....
Comparons celte suite avec la suite correspondante (î) I, lo, lo', lo',....
Le dénominateur ai de la fraction donnée étant premier à la fois avec lo
l38 ARITHMÉTIQUE.
et avec le numérateur 8, il résulte immôiiiatement de la Remarque du
n^ 176 que, si Ton divise par 21 les différents termes des suites (i)et(2),
les restes obtenus forment deux séries périodiques dont les périodes corn-
mencentet se terminent aux mômes rangs; et, comme pour la suite (2) le
premier reste qui reparait (160) est i, le premier reste qui reparait pour
la suite (i) est é. Les chiffres du quotient décimal fourni par la réduction do
g la fraction — se reproduisent donc périodiquement dès la virgule.
De plus, si 10" est la plus petite puissance de 10 qui, divisée par ai, donne le reste i comme i lui-môme, 8x10* sera également le premier dividende qui, après 8, donnera le reste 8. Le nombre de chiffres de la période du quotient décimal périodique simple obtenu est donc égal à /?. D'ailleurs (175] ce nombre n est toujours un diviseur de 7(21).
Par conséquent, quand on réduit en décimales une fraction irrédur^ tible dont le dénominateur est premier avec 10, o/ï trouve un quotient pé^ rindique simple, dont le nombre de chiffres de la période est un diviseur exact du nombre qid exprime combien il existe de nombres premiers et non supérieurs au dénominateur de la fraction donnée (164, 166).
Dans l'exemple proposé, 7(21) = 12 et /z = 6.
246. D'après ce qui précède, le nombre de chiffres de la période décimale ne dépend que du dénominateur de la fraction considérée. Par suite, toutes les fractions irréductibles ^ qui ont un même dénominateur prernicr avec 10, présentent le même nombre de chiffres à Ut période y lorsqu'on tes convertit en décimales.
Si, pour deux numérateurs différents, on rencontre alors, dans la série des opérations, deux restes égaux, tous le seront nécessairement (177). Les deux périodes décimales correspondantes comprendront, dans ce cas, les mômes chiffres, rangés seulement d'une autre manière, de sorte qu*on pourra passer de Tune à l'autre par permutation circulaire.
2W. 11. Toute fraction ordinaire dont le dénominat^i^r renferme à la foin des facteurs premiers net ^ et des f acte ttrs premiers différents, conduit à une fraction décimale péri^^^ dique mixte, dans laquelle le nombre des chiffres de la pareil non périodique est marqué par l'exposant le plus élevé d^s
ÀKITHMÉTIQUE. iSQ
facteurs premiers n et 5 qui se trouvent au dénominateur de k fraction donnée. Soil, par exemple, la fraction irréductible
io5o 21 X 2X 5'
Multiplions ^es deux termes par 2, afin d'introduire au dénomjoaieur une puissance exacte de lo. Nous aurons
io5o 2iX2"X5* 21 10*
QfC il)
En réduisant — = ^; en décimales ('), nous obtiendrons
Il 3X7
un quotient périodique simple, à partir de la virgule (2H); ce quotient sera 1,238095288095. . •• Pour en déduire l'expression décimale de la fraction proposée, il faudra le diviser par 100 en reculant la virgule de deux rangs vers la gauche. On a ainsi
H j a donc deux chiffres à la partie non périodique, ce qui correspond à l'exposant dont est affecté le facteur 5 dans le dénominateur de la fraction donnée*
i48. Dans les exemples qui précèdent, nous avons considéré des fractions ordinaires proprement dites. S'il en était autrement, on extrairait d'abord les entiers contenus dans l'expression fractionnaire donnée, et on les ajouterait ensuite au quotient décimal périodique, simple ou mixte, fourni par la réduction de la fraction complémentaire en décimales.
Retour à la ftaction ordinaire génératrice.
249. I. La fraction ordinaire génératrice d'une fraction décimaie périodique simple, sans partie entière, a pour numé-
'') Poor faire cette réduction, on convertit la fraction — en décimales, et 1. , 21 '
ioQijoate I au résultat.
rateur la période y et pour dénominateur un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période. Soit» en effet, la fraction décimale périodique simple
On a évidemment
et cette égalité exprime que, si l'on réduit la fraction ordi-
naire en décimales, on trouve, après trois divisions par-
lielles, le quotient o,365 et le reste o,365. On est donc placé,
oprès ces trois divisions, dans les mêmes conditions qu'au
début de l'opération, et il est démontré par là que les trois
premiers chiffres du quotient se reproduisent indéfiniment et
périodiquement. est donc la fraction ordinaire généra-
trice de la fraction périodique simple considérée, c'est-à-dire
celle qui, par sa réduction en décimales, lui donne naissance.
Si l'on considère un nombre n de périodes de plus en plus
grand, la fraction o,365 365 365. . . 365 (.) tend donc (242)
vers une limite déterminée, égale à
250. Le dénonlinateur de la fraction ordinaire génératrice d'une fraction périodique simple, étant formé de chiffres tous égaux à 9, ne peut renfermer ni le facteur 2, ni le facteur 5 (95) ; en réduisant cette fraction à sa plus simple expression, on ne supprime d'ailleurs que les facteurs communs à ses deux termes. Il en résulte que le dénominateur de la fraction ordinaire génératrice d'une fraction périodique simple e^t toujours premier avec 10.
C'est la réciproque du théorème du n* 244.
251. II. La fraction ordinaire génératrice d'une fraction décimale périodique mixte, sans partie entière, a pour numérateur l'ensemble de la partie non périodique suivie d'une période, diminué de la partie non périodique, et pour dénominateur un nombi^ formé d'autant de ^qu'iljra de chiffres dans la période, suivis d'autant de zéros qu'il jr a de chiffres dans la partie non périodique.
aritiTmétique. i4i
Soit, en efTei, la fraction périodique mixte
La fraction 0,4^365 365. . .365(„) est égale à
Lorsque le nombre n des périodes croît indéfiniment, cette fraciion a donc (249) une limite déterminée égale à
100 100 999 c'est-à-dire à
42 X 999 -h 365 ^qlooo — 4^ -f- 365 4^365 — ^2
999«>«> "" 999ÔÔ "^ 999ÔÔ
ce qui vérifie l'énoncé.
252. Le dénominateur de la fraction ordinaire génératrice d'une fraction périodique mixte, étant composé de chiffres 9 suivis d'un certain nombre de zéros, renferme à la fois des fadeurs premiers 2 et 5 et des facteurs premiers différents.
Lorsqu'on réduira cette fraction génératrice à sa plus simple expression, les facteurs premiers du dénominateur autres que 3 et 5 ne pourront pas tous disparaître; sans quoi la fraciion ordinaire obtenue conduirait à un quotient décimal exact (241 ), et non k une fraction périodique mixte.
De plus, on ne pourra jamais diviser par 10 les deux termes Je la fraction génératrice. Il faudrait pour cela, en effet, que le numérateur de la fraction fûl terminé par un zéro, c'està-dire que le dernier chiffre de la période fût égal au dernier chiffre de la partie non périodique. Mais alors on se serait irompé dans l'évaluation de la période, qui commencerait, en réalité, un rang plps tôt. Ainsi, dans l'exemple précédent, si ion remplaçait 2 par 5, la fraction périodique mixte devien- 'irait 0,45365365365365. . ., et la période, au lieu d'être 365, serait 536.
Les deux termes de la fraction génératrice n'étant pas à la fois divisibles par 10, si l'on peut les diviser par 2 ou par 5, on ne pourra pas les diviser par 5 ou par 2. Par conséquent, lorsqu'on réduira cette fraction à sa plus simple expression, son dénominateur contiendra^ dans tous les cas, autant de fac-
f42 ARITHMÉTIQUE.
leurs 2 OU autant de facteurs 5 qu'il contenait primitivement de zéros. 11 en résulte que l'exposant le plus élevé des fac^ leurs premiers n ei 5 que ^renferme le dénominateur de la fraction ordinaire génératrice est toujours égal au nombre de chijfres de la partie non périodique de la fraction périodique m ixte considérée.
C'est la réciproque du théorème du n® 247.
253. En rapprochant les n»» 2ft.i et 250, 2W et 252, il est démontré qu'une fraction décimale périodique simple ne peut provenir que d'une fraction ordinaire dont le dénominateur est premier avec lo, et qu'une fraction décimale périodique mixte ne peut provenir que d'une fraction ordinaire dont le dénominateur renferme à la fois des facteurs premiers i et 5 'et des facteurs premiers différents.
25{i'. Si des entiers se trouvent joints à la fraction décimale périodique proposée, on en fait d'abord abstraction, et on les ajoute ensuite à la fraction génératrice obtenue. 11 est d'ailleurs facile de remplacer l'expression illimitée donnée, par une expression fractionnaire équivalente, eh s'aidant des résultats précédents.
Soit, par exemple,
xz=i 3,2727272727 ....
On en déduit
Le second membre étant une fraction périodique mixte, on a
Soit encore On en déduit
327 — 3 jr= — •
ar= 3 1,27 65656565. . . .
ou
ARITHMÉTIQUE. l43
c'est-à-dire
Si la période est 9, on force l'unité sur le chiffre qui précède la première période, et l'on a la valeur exacte de l'expression périodique.
Ainsi (2/»9)
3»9999- .. = 3-h§=:3-hi = 4.
De même
255. Remarque. — On peut facilement réduire en décimales toutes les fractions qui ont un môme dénominateur premier avec lOy lorsqu'on a réduit en décimales celle d'entre elles qui
a pour nuniérateur l'unité (24-6). Ainsi, la fraction- étant
égale a
la fraction - sera égale à cette même valeur multipliée par 3
ou à 0,42857 1 42857 1 4 • • • •
i44 àhithmétique.
