DES OPÉRATIONS ABRÉGÉES

Remarques préliminaires.

256. Les règles données précédemment pour le calcul des nombres entiers et décimaux sont générales et conduisent toujours exactement aux résultats demandés» mais elles entraînent souvent des longueurs inutiles*

Supposons, par exemple, qu*on veuille multiplier deux nombres contenant chacun sept décimales; la règle du^n° 229 donnera le produit avec quatorze décimales, et la connaissance de ces quatorze décimales sera en partie le plus souvent illusoire, soit à cause de Tinsuffisance de nos procédés pratiques, soit parce que les sept décimales des deux facteurs ne seront pas elles-mêmes toutes certaines. Il est donc important d'indiquer une marche qui permette de ne poser au produit que le nombre de décimales indiqué d'avance par la nature de la question; et il faut, pour cela, ne faire concourir à la formation du produit approché que les décimales des deux facteurs qui peuvent influer sur les chiffres qu'on veut conserver dans ce produit.

257. Avant d'exposer les méthodes abrégées, il faut montrer quelle erreur on commet lorsqu'on néglige plusieurs chiffres sur la droite d'un nombre décimal.

Soit le nombre 65,718249 supposé exact. Remarquons d'abord qu'en négligeant des chiffres sur la droite de ce nombre on ne fera jamais une erreur qui atteigne une unité de l'ordre du dernier chiffre conservé. Si l'on prend, par exemple, 65,7 18 au lieu du nombre proposé, Terreur sera plus petite qu'un millième; en effet, lors même que tous les chiffres négligés seraient des 9, il résulte du principe général de la numération que la somme de leurs valeurs respectives serait tou-

ARITHMÉTIQUE. l45

jours inférieure à un millième. En négligeant 9 dix-millièmes, il s'en faut d'un dix-millième qu'on néglige un millième; en négligeant 99 cent-millièmes, il s'en faut d'un cent-millième, etc.

Quand le nombre approché est plus petit que le nombre exact, on dit que l'erreur est en moins ou qu'elle a lieu par défaut; quand le nombre approché est plus grand que le nombre exact, on dit que l'erreur est en plus ou qu'elle a lieu par excès.

Cela posé, on peut toujours faire en sorte que l'erreur commise soit, en plus ou en moins, plus petite qu'une demi-unité de Tordre du dernier chiflfre conservé.

Soit le même nombre 65,718249. En le remplaçant par le nombre 65,718, on néglige 249 millionièmes, c'est-à-dire un nombre inférieur à 3oo millionièmes et, à plus forte raison, à 5oo millionièmes ou à 5 dix-millièmes. Par suite, un millième valant 10 dix-millièmes, l'erreur, par défaut, est plus petite qu'un demi-millième.

En remplaçant le nombre proposé par 65,7a, on l'augmente de la différence qui existe entre un centième ou loooo millionièmes et 8249 millionièmes, c'est-à-dire de 1751 millionièmes, quantité inférieure à 2000 millionièmes et, à plus forte raison, a 5ooo millionièmes ou à 5 millièmes. Par suite, un centième valant 10 millièmes, l'erreur, par excès, est plus petite qu'un demi-centième.

Donc, lorsque le premier chiffre négligé est plus petit que 5, l'erreur est par défaut; lorsque le premier chiffre négligé est égal ou supérieur à 5, on force l'unité sur le dernier chiffre conservé (c'est-à-dire qu'on l'augmente d'une unité), et l'erreur est par excès : dans les deux cas, elle est plus petite qu'une demi-unité du dernier ordre conservé.

Addition abrégée.