Soit à ajouter les nombres suivants

dont on veut trouver la somme à 0,001 près. On conserve, dans chacun des nombres donnés, une décimale

De C. — Cours. I. lO

l46 ARITHMÉTIQUE.

de plus que ne V indique l'approximation demandée j de sorte que l'opération est disposée de la manière suivante :

4»82oi

Dans le résultat obtenu, on supprime le dernier chiffre à droite et Von augmente d'une unité le chiffre précédent; 260,139 représente alors la somme cherchée à 0,001 près, /;/7r défaut ou par excès.

En effet, l'erreur par défaut commise sur chacun des nombres ajoutés est moindre que 0,0001 (257), et, comme nous considérons moins de dix nombres, Terreur sur le Jotal est moindre que 0,0001 X 10 ou que 0,001. La somme exacte est donc comprise entre 26o,i386et 260,1 386-+- 0,001 et, à plus forte raison, en éloignant les limites, enive 260,138 et 260,140. Or, si nous prenons le nombre intermédiaire 260,139, \i\ somme exacte tombera nécessairement entre 260,1 38 et 260,139 ou entre 260,139 et 260,140. Le nombre 260,189 représente donc bien la somme cherchée, à 0,001 près, par défaut ou par excès.

On voit, d'après cet exemple, quelle est la règle à suivre dans tous les cas analogues.

Si Ton a à ajouter plus de dix nombres et moins de cent, on doit conserver, dans chacun des nombres donnés, deux décimales de plus que ne l'indique l'ordre d'approximation demandé. Sauf cette modification, tous les raisonnements précédents restent applicables.

Soustraction abrégée.

259. Soit à retrancher les deux nombres 34,5985 et 13,678413, dont on veut trouver la différence à 0,001 près.

On conserve, dans les nombres donnés, le même nombre de décimales que celui qui est indiqué par l'approximation de^ mandécj et Von fait en sorte que les deux nombres donnés

ARITHMÉTIQUE. I^y

soient tous deux approchés dans le même sens, par défaut ou par excès. L'opéraiion est alors disposée de la manière suivante :

Le résultat obtenu exprime la différence cherchée, à 0,001 près, par défaut ou par excès. En effet, si Ton désigne par a ei par pies deux erreurs par défaut ou par excès, moindres qu'un millième, commises sur les nombres proposés, leur différence exacte est égale (') à (34,598-4-a) — (13,678 -i- (3) ou à (34,598 — a) — ( 13,678 — P). Par suite, cette différence exacte est égale au reste trouvé, augmenté ou diminué de la différence (62) de deux quantités moindres qu'un millième.

Multiplication abrégée.

'260. Soit à multiplier les deux nombres

32,51369825 et 4oi923"6Si> dont le produit exact est

Supposons qu'on demande ce produit seulement avec trois décimaies, c'est-à-dire jusqu'au chiffre des m///2ème5.

On écrit le chiffre des unités du multiplicateur (ce chiffre peut être zéro) sous le chiffre du multiplicande qui représente des unités cent fois plus faibles que celles qu'on veut conserver au produit, c'est-à-dire, dans le cas considéré, sous le chiffre des cent-millièmes; puis on renverse les chiffres du multiplicateur à droite et à gauche du chiffre des unités. De cette manière, le chiffre des dizaines du multiplicateur se trouve sous le chiffre des millionièmes du multiplicande, tandis que le chiffre des dixièmes se trouve sous celui des dixmillièmes, etc.

11 résulte de cette disposition que le produit d'un chiffre quelconque du multiplicande par le chiffre du multiplicateur placé au-dessous représente des cent-millièmes ; car la valeur

(') Dans Texemple considéré, c'est le première hypothèse qui a lieu.

l48 ARITHMÉTIQUE.

relative des chiffres du multiplicande devenant de dix en dix îo\s plus petite, celle des chiffres correspondants du multiplicateur devient de dix en dix îoïs plus grande^ et inversement.

Si l'on a soin alors de multiplier le multiplicande par les différents chiffres du multiplicateur, en commençant chaque multiplication au chiffre du multiplicande placé au-dessus du chiffre qu'on emploie au multiplicateur, lous les produits partiels obtenus représentent des cent-millièmes, et les chiffres des unités de ces différents produits partiels doivent être écrits dans une même colonne verticale. On voit qu'on ne fait ainsi participer au produit que les chiffres des deux facteurs dont la combinaison peut donner au moins des cent-millièmes.

Le calcul présente la disposition suivante :

i330)56oii

On néglige alors les deux derniers chiffres du produit trouvé, on force l'unité sur le chiffre des millièmes, et le produit demandé est i33o,56i à 0,001 près, par excès ou par défaut.

En effet, les chiffres négligés sur la droite de chaque multi^ plicande partiel ne forment pas un nombre égal à une unité du dernier ordre conservé (257). Donc Terreur sur chaque produit partiel correspondant est moindre que le chiffre employé au multiplicateur multiplié par 0,00001 (dans le cas considéré). Par suite, il faut d'abord tenir compte d'une erreur par défaut égale à la somme des chiffres employés au multiplicateur, multipliée par 0,00001.

II faut remarquer que, si le multiplicateur renversé dépasse le multiplicande sur la droite, on doit ajouter par la pensée des zéros à la suite du multiplicande, de manière à ne négliger aucun chiffre sur la droite du multiplicateur renversé; les chiffres du multiplicateur qui correspondent à ces zéros addi* tlonnels n'entrent pas alors dans l'évaluation de l'erreur.

Les chiffres du multiplicateur qui dépassent le multipli-

AniTHMÉTIQUE. J /^g

cande sur la gauche étant au contraire laissés de c^lé, il s'agit d'apprécier l'erreur qui en résulte. D'après ce qui précède, ces chiffres ne forment pas un nombre égal à une unité du dernier ordre conservé sur la gauche du multiplicateur. De plus, la valeur du multiplicande est inférieure à celle de son dernier chiffre à gauche augmenté de i. Par conséquent, les chiffres négligés sur la gauche du multiplicateur entraînent (en cent-millièmes) une erreur par défaut inférieure au dernier chiffre à gauche du multiplicande plus i.

L'erreur par défaut commise sur le produit cherché est donc, dans l'exemple considéré, au plus égale à

(4-I-9-H2 -f-34-6-h8)Xo,oooo n-{3-h I )xo , oooo I = o ,ooo36,

quantité inférieure à i oo cent-millièmes ou i millième. Le produit exact tombe donc entre

i33o,56oii, et i33o,56oii -h o,ooi = i33o,56i ii.

A plus forte raison sera-l-il compris, en éloignant les

limiiesy entre

i33oy56o et i33o,562.

Le nombre i33o,56i, qui diffère de ces deux limites juste de 0,001, représente le produit cherché à moins de 0,001 par excès ou par défaut; car le produit exact, tombant entre i33o,56o et i33o,562, tombe nécessairement entre i33o,56o et i33o,56i ou entre i33o,56i et i33o,562.

Dans la pratique, on peut ne pas écrire les chiffres du multiplicande et du multiplicateur qui ne doivent pas être employés. Soit, par exemple, à multiplier 4^,30578006 par 9528,6023071 à 0,01 près; le produit exact est

Le calcul présente la disposition suivante :

ai i52 8900

l30 ARITHMÉTIQUE.

et le produit cherché est 4o3i 14996 à o^oi près, par excès ou par défaut.

261. On voit facilement comment il faudrait modifier la règle, si la limite de Terreur surpassait une unité de Tordre d'approximation demandé. Au lieu d'écrire le chiffre désunîtes du multiplicateur sous le chiffre du multiplicande qui représente des unités cent fois plus petites que celle qui exprime ce degré d'approximation, on l'écrirait sous le chiffre qui représente des unités mille fois plus petites. On répondrait ainsi à tous les cas possibles de la pratique.

Si l'on avait, par exemple, à multiplier 40000,57071238 par 99 '999999999^7'» et si Ton demandait le produit à 0,001 près, on obtiendrait, en appliquant la première règle indiquée (260), la disposition suivante :

On verrait immédiatement que la limite supérieure de Terreur commise peut atteindre 104 cent-millièmes, quantité plus grande que 0,001. On aurait alors recours à la règle modifiée, c'est-à-dire qu'on écrirait le chiffre des unités du multiplicateur sous le chiffre des millionièmes du multiplicande. Il vaudrait mieux d'ailleurs, dansTexempleproposé,renverserTordre des deux, facteurs, ce qui est évidemment permis. On aurait ainsi

et Terreur sur le produit aurait pour limite o,ooo36, quantité moindre que 0,001.

Enfin, dans le cas où la somme des chiffres qui entrent dans l'évaluation de Terreur est inférieure à 10, la règle au con traire se simplifie, puisqu'on peut écrire le chiffre des unités du multiplicateur sous le chiffre du multiplicande qui. représente seulement des unités dix fois plus faibles que le degré d'approximation voulu.

ARITHMÉTIQUE. l5l

Division abrégée.

262. De même que rapproximaiion avec laquelle on veut calculer un produit de deux facteurs conduit à n'employer que certains chiffres de ces deux facteurs, de même l'approximalion demandée au quotient permet de négliger certains chiffres du dividende et du diviseur. C'est sur cette remarque qu'est fondé le procédé de la division abrégée. Nous poserons d'abord les deux règles suivantes :

i*^ Dans la division de deux nombres quelconques, avant tout calcul, il faut rendre le diviseur entier (231);

2*» Nous supposerons dans tout ce qui va suivre que le quotient est demandé à l'unité près. S'il est demandé en effet à un dixième, un centième, un millième près, il suffit de rendre le dividende lo, loo, looo fois plus grand, et de chercher le quotient à l'unité près; puisqu'on devra ensuite le rendre lo, loo, looo fois plus petit, il sera obtenu à un dixième» un centième, un millième près. Si Ton demande au contraire le quotient à une dizaine ou à une centaine près, il faut rendre le dividende lo ou loo fois plus petit, et chercher le quotient à l'unité près. Comme on devra ensuite le multiplier par lo ou par loo, il sera bien obtenu à une dizaine ou à une centaine près.

263. Soit donc à diviser dans ces conditions 83645o 12,37 par 612345. Le quotient trouvé par la méthode ordinaire est i36,59ào,oi près. Si Ton veut trouver ce quotient à 0,01 près» par la méthode abrégée, on doit chercher à l'unité près te quotient des nombres 83645oi237 et 6ia345.

Wous commencerons par déterminer le nombre des chiffres du quotient (49) : ce nombre est égal à 5. Il faut alors séparer sur la gauche du diviseur assez de chiffres pour former un nombre au moins égal à 5 X 9. Ces chiffres forment le dernier diviseur qui est 61. On compte alors 5 — i ou 4 chiffres sur la droite du dernier diviseur, et Ton a le premier diviseur qui ' est 612345. S*il y avait d'autres chiffres au diviseur, après ceux qui constituent le premier diviseur, on les supprimerait. On efface alors sur la droite du dividende autant de chiffres qu'il

l56 AUITHMÉTIQUE.

a— (3-f-i avec une erreur moindre qu'une unité, c'est que le procédé ordinaire conduirait à un quotient composé de a — (3 neuf, avec une erreur par défaut moindre qu'une unité. Le procédé abrégé doit donc donner (lo) suivi de a — (3 — I zéros, et V erreur moindre qu'une unité est alors par excès (').

On peut vérifier ce que nous venons de dire sur l'exemple suivant. Soit à diviser 437538 par 4378. On aura :

Procédé abrégé. Procédé ordinaire.

Pour évaluer, dans le cas qui nous occupe, l'erreur par excès commise sur le dividende (263), on doit écrire le quotient renversé sous le diviseur, de manière que le chiffre des unités du quotient corresponde, non pas au chiffre des unités, mais au chiffre des dizaines du dernier diviseur : en effet, le quotient renferme un chiffre de plus. L'erreur cherchée sera donc moindre que la somme des chiffres du quotient ou 1, multiplié par 1000. Le diviseur étant au moins égal à 1000, Verreur par excès commise sur le quotient est encore plus petite que i.

(*) n faut, pour bien comprendre ce qui précède, se rappeler que, lorsque le quotient a (a — )3) chiffres, le premier dividende partiel employé en suivant te procédé ordinaire doit contenir un chiffre de plus que le dimeur (55). D'ailleurs, ce premier dividende partiel divisé par le diviseur ne pouvant donner qu'un chiffre au quotient, on voit que le premier chiffre du dividende sera tut. plus égal au premier chiffre du diviseur. Lorsque cette condition sera remplie, Il faudra qu'en comparant les chiffres suivants du diviseur à ceux qui leur correspondent dans le premier dividende partiel on trouve au moins un chiffre du diviseur plus grand que celui de même rang dans le premier dividende partiel, les chiffres précédents étant égaux deux à deux ; sinon le premier dividende partiel renfermerait dix fois le diviseur.

Cela posé, en appliquant le procédé abrégé , le premier dividende contiendra donc dix fois au plus le premier diviseur (car les chiffres conservés dans le premier diviseur doivent être au moins égaux à ceux de même rang dans le pre> mier dividende qui en renferme un de plus\ et le reste obtenu ou second dividende n'aura alors qu'un seul chiffre. Gomme le dernier diviseur en contient au moins deux^ tous les chiffres suivants du quotient seront bien des zéros.

Si le premier chi0re du dividende est inférieur au premier chiffre du diviseur, le premier dividende ne pourra pas contenir dix fois le premier diviseur, et l'on rentrera dans l'un des cas déjà examinés.

AniTHMÉTIQTIE. iS']

Quant à Terreur par défaut, pour l'évaluer, il n'y a rien à changer aux raisonnements précédents (263).

Remarque générale.

265. Les règles qu'on vient d'exposer permettent d'obtenir le résultat de l'une quelconque des quatre premières opérations, à une unité près d'un ordre désigné d'avance, mais sans que. le sens de l'erreur commise soit fixé. Si l'on voulait connaître ce résultat à une demi-unité près de l'ordre du dernier chiffre, dans un sens déterimné, il suffirait de calculer, à l'aide des mêmes règles, un ou deux chiffres de plus.

iH»i