THÉORIE DE LA RACINE CARRÉE

Notions préliminaires.

266. Nous avons terminé toui ce qui a rapport aux deux formes sous lesquelles on peut directement considérer les nombres. Les nombres en^i^rs répondent à Taddiiion successive de l'unité; les ï\omhTQS fractionnaires^ à l'addition successive d'une certaine partie aliquote de l'unité. Cette partie aliquote peut êlre variée d'une manière quelconque, de sorte que le champ des nombres fractionnaires est beaucoup plus vaste que celui des nombres enlicrs. La progression des nombres entiers se retrouve à la fois au numérateur et au dénominateur de l'expression fractionnaire et, de plus, à un numérateur donné on peut faire correspondre tel dénominateur qu'on veut.

Il nous reste à étudier une dernière classe de quantités que nous retrouverons constamment en Mathématiques et qui naissenty en particulier, de la considération des racines, c'est-^dire qu'on y est conduit par la sixième opération fondamentale, inverse de l'élévation aux puissances (77).

267. Lorsqu'une grandeur ou une quantité variable X so rapproche indéfiniment d'une grandeur ou d'une quantité

l6o ARITHMÉTIQUE.

fixe A, de manière que la différence A — X ou X —A puisse devenir plus peiite que toute quantité donnée, on dit que A est la limite de X.

La théorie des fractions ordinaires et celle des fractions décimales périodiques nous ont déjà offert (197, 242) des exemples de limites.

268. Lorsque deux grandeurs sont multiples d'une troisième grandeur, cette troisième grandeur se nomme leur commune mesure. Deux grandeurs sont commensurables ou incommensurables entre elles^ suivant qu'elles ont ou qu'elles n'ont pas de commune mesure.

269. Lorsqu'une grandeur a une commune mesure avec l'unité choisie, cette commune mesure est l'unité elle-même ou une partie aliquoie de l'unité. Dans le premier cas, la grandeur considérée est mesurée par un nombre entier; dans le second cas, elle est mesurée par un nombre fractionnaire (178).

Réciproquement, toute grandeur mesurée par un nombre entier ou par un nombre fractionnaire est commensurable avec l'unité choisie, car celle grandeur est un multiple de l'unité ou d'une quelconque de ses parties aliquotes.

Une grandeur incommensurable avec l'unité ne peut donc être mesurée ni par un nombre entier, ni par un nombre fractionnaire.

270. Un nombre est dit commensurable ou incommensurable, suivant que la grandeur dont il exprime la mesure est commensurable ou incommensurable avec l'unité choisie.

271. Lf*s nombres commensurables sont les entiers et les fractions (269).

D'après ce qui précède (269^, les nombres incommensurables ne peuvent être représentés exactement qu'à Vaide de symboles particuliers, mais on peut toujours indiquer des nombres commensurables qui en approchent autant qu'on veut : c'est ce que nous allons vérifier pour les racines.

ARITHMÉTIQUE. l6l

De la racine carrée.

272. On appelle racine carrée d'un nombre le nombre qui élevé au carré reproduit le nombre proposé. Ainsi, ^5 étant

le carré de 5, 5 est la racine carrée de aS; de même, - étant le

carre de •:r» -^ est la racine carrée de -=■•

On indique la racine carrée d'un nombre au moyen du

signe ^ , qu'on nomme radical. On écrit donc

«^ = 5. Vl=5

Le carré d'un nombre entier ou fractionnaire est dit carré parfait. Tout nombre carré parfait a donc sa racine carrée exprimée exactement par un nombre entier ou fractionnaire.

273. Tout nombre entier qui n'est pas carré parfait d'un autre nombre entier ne peut pas l'être non plus d'une fraction; sa racine carrée ne peut donc être exprimée exactement ni par un nombre enlier ni par une fraction. De même, toute fraction irréductible dont les deux termes ne sont pas carrés parfaits ne peut être carré parfait d'une autre fraction (219); sa racine carrée ne peut donc être exprimée exactement ni par un nombre entier ni par une fraction.

Il résulte de là (271) que les racines carrées des nombres

entiers <|ui ne sont pas carrés parfaits et des fractions irré-

rluctibles dont les deux termes ne sont pas carrés parfaits sont

des nombres incommensurables (*) dont on peut seulement

obtenir la valeur avec une approximation quelconque. Ainsi

les racines carrées des nombres a et - sont des nombres in-

commensurables qu'on ne peut représenter exactement que

par les symboles

v/ï et yj~

(*) Il est bon de remarquer que tout ce qui p**écéde est relatif au choix de Tonité, une grandeur incommensurable avec une certaine unité pouvant devenir eommensurable avec une autre. Ajoutons qu'il n'y a aucune analogie entre le* nombres incommensurables et les fractions décimales périodiques, CCS dernières étant toujours susceptibles d'une représentation numériquo exacte (249, 251).

De C. — Cours, I. XI

iQa ATIITHMËTIQUE,

274. L'opération par laquelle on détermine la racine carrée d'un nombre est appelée extraction de la racine carrée.

Nous avons donc à résoudre cette question :

Étant donné un nombre N^ entier ou fractionnaire ^ extraire sa racine carrée^ exactement si lY est un carré parfait^ avec l'approximation demandée dans le cas contraire.

Pour y arriver, 11 faut établir d'abord quelques propriétés des carrés.

GompoBition dn carré d'niie somme de deux parties, et remarques

sur les carrés.

275. Pour trouver le carré de la somme 7 + 3, il faut multiplier 7 + 3 par 7 + 3. En suivant la règle indiquée (63), on trouve pour résultat

7* + 2.(7 X 3) + 3'; c'est-à-dire que le carré d'une somme de deux parties est égal au carré de la première partie , plus le double produit de la première partie par la seconde ^ plus le carré de la seconde partie (' ).

Tout nombre plus grand que g étant composé de dizaines et • d'unités, on peut dire d'une manière générale que. le carré d'un nombre entier est égal au carré de ses dizaines, plus le double produit de ses dizaines par ses unités, plus le carré de ses unités.

Ainsi l'on a

37»=r(3o+ 7)'=3o' + 2x3oX7 + 7".

D'après ce qui précède,

d'où

(' ) Si l*on élevait 7 — 3 au carré, ou trouTorait évidemment (64)

ahithmétiqub. iG3

Par conséquent, la différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale à deux fois le plus petit nombre plus I.

Si le carré de 3o est égal à goo, le carré de 3i est égal à 900 -h 2 X 3o -f- 1 ou à 961 •

276. La table suivante donne les carrés des neuf premiers nombres :

On peut remarquer que le carré d'un nombre est nécessairement terminé par le même chiffre que le carré de ses unités. En effet, le carré des dizaines élant terminé par deux zéros, et le double produit des dizaines par les unités par un zéro, quand on additionne les trois parties qui constituent le carré, la colonne des unités ne renferme que le chiffre qui termine le carré des unités. Si, de plus, le nombre proposé est terminé par un 5, son carré doit être terminé par 25; car le double produit des dizaines par les unités est, dans ce cas, terminé par deux zéros. Ainsi

35»=(3o-t- 5)' ==3o*-4-2X3ox5-+- 5^=900 4- 3oo^- 25=1225.

Enfin, si un nombre est terminé par un nombre quelconque (le zéros, son carré est terminé par deux fois plus de zéros • c'est ce qui résulte des principes de la multiplication ( 39).

En se reportant à la table des carrés des neuf premiers nombres, on voit que les nombres terminés par i et 9 ont leurs carrés terminés par i; que les nombres terminés par 2 et 8 ont leurs carrés terminés par 4; que les nombres terminés par 3 et 7 ont leurs carrés terminés par 9; que les nombres terminés par 4 6t6 ont leurs carrés terminés par 6; ehQn que les nombres terminés par 5 ont leurs carrés terminés par 26.

Ce qui précède conduit aux crractères d'exclusion suivants : Tout nombre terminé par 2, 3, 7 ou 8 ne peut pas être un carré parfait; tout nombre terminé par 5, sans Vétre par 25, ne peut pas être un carré parfait ; tout nombre terminé par un nombre impair de zéros ne peut pas être un carré parfait.

l(î4 àRITHMÉTIQUE.

Extraction de la racine carrée d'nn nombre entier on fractionnaire

à l'nnité près.

277. Nous commencerons par remarquer que, pour extraire la racine carrée d'un nombre fractionnaire à V unité près, il suffit d'extraire à l'unité près la racine carrée de sa partie entière.

En eifel, pour que la racine carrée d'un nombre entier croisse d'une unité, il faut que ce nombre croisse lui-même au moins d'une unité, puisque la différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale à deux fois le plus petit nombre plus un (275). Si l'on augmente un nombre entier d'une fraction proprement dite» on ne peut donc changer la partie entière de sa racine carrée : ainsi extraire la racine

carrée de 33^ h — § à l'unité près ou extraire la racine carrée

de 332 à l'unité près revient au même.

278. Cela posé, et la question se trouvant ramenée dans tous les cas à extraire la racine carrée d'un nombre entier à l'unité près, il faut distinguer entre les nombres plus petits et plus grands que 100.

Lorsqu'un nombre est plus petit que 100, il suffît de consulter la table des carrés des neuf premiers nombres. On voit immédiatement, par exemple, que la racine carrée de 49 6st 7, et que, 78 tombant entre 64 et 81, sa racine carrée tombe entre 8 et 9 (276), de sorte qu'elle est 8 par défaut et 9 par excès à l'unité près.

279. Si le nombre considéré est plus grand que 100, comme 487919, sa racine carrée est plus grande que 10 : elle renferme alors des dizaines et des unités. Si le nombre donné est un carré parfait, il contient les trois parties qui composent le carré de sa racine (275); s'il n'est pas un carré parfait, il contient en outre une quatrième partie qui représente son excès par rapport au carré de sa racine prise par défaut, et qu'on appelle le reste de Topération.

Le carré des dizaines de la racine ne pouvant donner que des centaines, le carré de ce nombre de dizaines est nécessairement contenu dans le nombre 4^79 des centaines du nombre

AHITHMÉTÏQUE. l65

proposé, et ce nombre 4879 peut renfermer en outre quelques centaines provenant des autres parties du carré de la racine et du reste. En extrayant la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans 4879» on aura donc le nombre des dizaines de la racine cherchée ou un nombre trop fort. // est facile de voir que le résultat trouvé ne peut jamais être trop fort. En effet, si 69 est la racine carrée du plus grand carré entier compris dans 4879, le carré de 69 pourra se retrancher de 4^79; par suite, le carré de 690 pourra se retrancher de 487900 et, à plus forte raison, de 487919.

On arrive ainsi à cette première règle : Le nombre des dizaines de la racine carrée d^un entier N > 1 00 est toujours égal à la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans le nombre des centaines de N.

On est donc conduit à extraire la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans 4879, c'est-à-dire à extraire la racine carrée de ce nombre à Tunitéprès. Mais 4879 étant >> 100, sa racine est plus grande que 10; les raisonnements précédents sont donc applicables, et il faut extraire la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans les 48 centaines de 4879, pour obtenir les dizaines de sa racine carrée. Le plus grand carré entier contenu dans 48 est 36 dont la racine carrée est 6. Le chiffre des dizaines de la racine carrée de 4879 est donc 6; reste à trouver le chiffre des unités.

L'excès de 48 sur 36 étant égal à 12, si Ton retranche de 4879 le carré de 60, c'est-à-dire le carré des dizaines de la racmeou 3600, on trouvera pour reste 1279. Le reste 1279 ainsi obtenu contient au moins le double produit des dizaines de la racine par les unités cherchées, plus le carré de ces unités. Le double produit des dizaines de la racine par ses unités ne pouvant donner que des dizaines, le double produit de ce nombre de dizaines par le chiffre des unités sera compris dans

l66 ARITHMÉTIQUE.

les 127 dizaines du reste 1279. ^^ divisant 127 par le double 12 du nombre de dizaines de la racine, on aura donc pour quotient le chiffre des unités de la racine ou un chiffre supérieur. En efifet, 127 représente non-seulement le double produit du nombre de dizaines de la racine par ses unités, mais contient en outre les dizaines des autres parties qui composent 1279. Le quotient obtenu doit donc toujours être essayé : le premier chiffre de la racine est le seul qui soit nécessairement exact.

On peut, par suite, énoncer cette seconde règle : Si l'on retranche d'un entier N le carré des dizaines de sa racine carrée, et qu'on divise le nombre aes dizaines du reste par le double du nombre de dizaines de la racine, le quotient obtenu est égal ou supérieur au chiffre des unités de la racine.

127 divisé par 12 donne 10 pour quotient; mais, comme le chiffre cherché est inférieur à 10, nous essayerons 9. La racine carrée de 4^79» à Tunité près, est égale ou inférieure à 69. Si le carré de 69 peut se retrancher de 4^79, le chiffre 9 est exact; sinon il faut le diminuer d'une unité et recommencer Tessai. Nous avons déjà retranché de 4^799 ^^oo ou 60'; il faut donc seulement vérifier si Ton peutretrancber du reste 1279 les deux autres parties du carré de 69. On peut évidemment former ces deux parties d'un seul coup, en écrivant le chiffre 9 à côté du double 12 du premier chiffre 6 de la racine et en multipliant le résultat 129 par 9. On obtient 1161 qui, retranché de 1279, donne 118 pour reste. 69 représente donc la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans 4879*

Par conséquent, en revenant au nombre 4^79'9> ^9 représente les dizaines de la racine carrée de ce nombre; reste à trouver le chiffre des unités.

En retranchant 69' de 4879» on trouve 1 18; en retranchant le carré de 690 de 487900, on trouvera donc 11800 et, par suite, en retranchant de 4^7919 le carré de 690 ou le carré des dizaines de la racine, on trouvera pour reste 11819.

11819 contient au moins le double produit des dizaines de la racine par les unités cherchées, plus le carré de ces unités. Les dizaines 1 181 du nombre 1 1819 sont donc au moins égales au double^produit du nombre 69 des dizaines de la racine par les unités inconnues et, en divisant 1181 par 69 x 2 ou i38 = 129 + 9, on obtiendra un quotient égal ou supérieur k ces mêmes unités.

Arithmétique.