II 0 I .9 7 I

281. Le reste de l'opération ne peut pas dépasser deux fois la racine.

En effet, le nombre proposé N est égal au carré de sa racine A, plus le reste trouvé R. Si ce reste était seulement égal à deux fois la racine plus un, le nombre donné égal à A* -h R serait égal à A* -f- 2 A -4- I ou (A H- i)'. Sa racine carrée ne serait donc pas A à l'unité près, mais bien A + i ; et la crainte d'écrire au résultat un chiffre trop fort en aurait fait écrire un trop faible.

Cette remarque s'applique évidemment aux restes trouvés dans le courant de l'opération, comparés aux nombres déjà écrits à la racine.

282. En comparant le reste de l'opération à la racine trou^ véCy on peut obtenir cette racine à moins d'une demi^unité pai défaut ou par excès.

£n effet, on a en même temps

N = A*-|-R et /a + ^V = A»-*-A-+-i• Si R est < A, c'est-à-dire égal au plus à A, on a

N<(A-hjy et v^N<A-+-i.

A représenie alors la racine carrée demandée à moins d'une demi-unité par défaul.

Si R est >> A, c'esl-à-dire égal au moins à A + i, on a au contraire

N>^A-|-iy et v/N>A-f-^-,

de sorte qu'en prenant A pour la racine Terreur par défaul surpasse une demi-uniié, et qu'il faut alors, pour avoir celte racine à moins d'une demi -unité, mais par excès, forcer l'uniié sur le résultat trouvé A.

Si l'on cherche la racine carrée de 8157 18, on trouve 908, et le reste esi 3o9<9o3 : la racine est donc obtenue par défaul à une demi-unité près. Si l'on cherche la racine de 487919, on irouve 698, et le reste est 715 > 698 : la racine à moins d'une demi-unité par excès est donc 699.

Extraction de la racine carrée d'nn nombre entier on fractionnaire

avec nne approximation quelconque.

283. Extraire la racine carrée d'un nombre entier ou fraclionnaire N, avec une approximation marquée par la fraction -9

c'est déterminer le plus grand multiple de- renfermé dans v^N* Désignons par ^ ce plus grand multiple; nous devrons avoir

-<VN<-— — n n •

Si l'on élève au carré les trois nombres considérés, les trois

résultats — 1 N, seront encore rangés par ordre de

grandeur croissante, et il en sera de même si on les multiplie par n*. On peul donc écrire

^»<Nn»<(^-hi)*.

X* esl donc le plus grand carré entier contenu dans N/i% et le nombre inconnu x est la racine carrée de ce produit à l'unité près.

On parvient ainsi à la règle suivante :

Pour extraire la racine carrée d'un nombre entier ou frac-

l'JO ARITHMÉTIQUE*

iionnaire N, à moins de —9 il faut extraire la racine carrée du produit N/i* à moins d'une unités et diviser le résultat par n.

284^. Si la fraction qui indique l'approximation demandée est

de la forme — » on commence par la ramener à la forme — >

et Ton applique ensuite la règle précédente en remplaçant n

n par — •

Racine carrée des fractions et des nombres décimanz.

285. Pour élever une fraction au carré, il faut élever ses deux termes au carré (218). Par conséquent, quelle que soit la fraction proposée ?» on a d'une manière générale

le carré de la seconde expression étant y-9 comme celui de la

première (272). Pour obtenir exactement la racine carrée d'une fraction, il faut donc que ses deux termes soient des carrés parfaits (273).

Lorsqu'il n'en est pas ainsi, il faut rendre le dénominateur de la fraction carré parfait, afin de pouvoir apprécier immédiatement le degré d'approximation obtenu ; et, pour que cette condition soit remplie, il suffit de multiplier les deux termes de la fraction proposée par son dénominateur. On a de cette manière

/a /ab \fâb \Jab

sfb^

Si l'on extrait alors la racine carrée du produit ab à l'unité près, comme on doit diviser par b le résultat trouvé, on obtient

I ) racine carrée de la fraction t avec une approximation marquée par T*

286. Pour rendre le dénominateur de la fraction donnée carré parfait^ il suffit d'ailleurs de multiplier les deux termes (le la fraction par les facteurs premiers du dénominateur qui ont un exposant impair. On emploie ainsi le dénominateur carré minimum.

Soit, par exemple»

On n*a qu*à multiplier les deux termes de cette fraction par 1X5 ou lo^ pour remplacer son dénominateur par le carré parfait

287. Soit, maintenant, à extraire la racine carrée d'un nombre décimal tel que 825,714. Pour que le dénominateur de la fraction décimale correspondante soit un carré parfait (286), il faut que ce dénominateur contienne un nombre pair de zéros; on doit donc d'abord compléter par un zéro le nombre des chiffres décimaux du nombre donné. On a ensuite, d'après ce qui précède (285),