Exemples : i" Extraire la racine carrée de t. à

près.

Le calcul sera disposé comme il suit :

La valeur de v^ à - millième près par défaut (282) est donc i,4>4*

2" Extraire la racine carrée de — à 0,001 près.

On trouve — = 3,14^^857. La racine carrée de 3,142857

est 1 ,773 à - millième près par excès (282). Telle est donc la

racine carrée de — > avec la même approximation.

Définition précise de la racine carrée d'nn nombre qoi n'est pas

carré parfait.

290. Nous pouvons maintenant définir avec les détails nécessaires la racine carrée d'un nombre donné, lorsque celte racine est un nombre incommensurable (273).

Soit un nombre N, entier ou fractionnaire, qui ne soit pas carré parfait.

Extrayons la racine carrée de ce nombre, par défaut et par

excès, avec une approximation marquée par — (283), le

nombre entier p croissant sans limite à partir de i. Nous obtiendrons ainsi deux suites illimitées de racines carrées par défaut et de racines carrées par excès du nombre donné N.

Nous allons démontrer que ces deux suites tendent respectivement vers une iimite, qui leur est commune.

If k' Représentons (283) par — et —^ deux racines carrées consécutives par défaut. — ~- et — -rr seront les racines carrées ^ nP nP-*-^

consécutives par excès qui leur correspondent, et nous aurons à la fois, d'après Thypothèse,

{èy<'><m'' (^)"<"<{

On en déduit, en chassant les dénominateurs et en multipliant les trois premiers nombres par n^,

On voit que k' est le plus grand nombre entier dont le cnrré soit contenu dans Nn-^-*-*, tandis que kn est simplement un nombre dont le carré y est aussi contenu. On a, par conséquent,

k' kn'Sk', ou .** = —•

Il en résulte, en divisant par /i^,

nf - nf"

ce qui prouve que les racines carrées par défaut ne peuvent pas décroître.

Les mêmes inégalités (i) montrent que A^ +-i est le plus petit nombre entier dont le carré soit supérieur à N/i^^"*"^, tandis que (A* -+- i)/i est simplement un nomnre dont le carré se trouve supérieur au même produit. On a, par conséquent,

f/r -h i)/i>/r'-h I, ou /f-Hi^-^ -•

Il en résulte, en divisant par nP^

/r -f I V, k' ■+- ï ^ n'' = ~nP^ '

AmiTOMÉTIQUB. 17$

ce qui prouve que les racines carrées par excès ne peuvent pas crottre.

Mais si les racines par défaut ne peuvent pas décroître, elles croissent d*une manière générale en s'approchant d'une certaine limite L dont le carré ne peut surpasser le nombre dbnné N.

Si les racines par excès ne peuvent pas croître, elles décroissent d'une manière générale en s*approchant d'une certaine limite L' dont le carré ne peut être inférieur au nombre donné N.

Ces deux limites L et L' sont nécessairement égales entre elles; car la différence entre deux racines carrées correspon-

dantes, l'une par défaut, Tautre par excès, ~ et — —9 étant

-— î cette différence diminuée mesure que/? augmente et devient rigoureusement nulle, lorsque les deux suites prolongées indéfiniment atteignent ensemble leurs limites L et L'.

La limite commune trouvée ainsi ne dépend pas d'ailleurs de la fraction d'approximation adoptée.

En effet, admettons que, la fraction d'approximation étant

-^9 la limite commune des deux suites de racines carrées par défaut et par excès soit X; et que, la fraction d'approximation étant -rr» la limite des deux nouvelles suites soit X'.

X limite de la première suite pour la première approximation supposée, a un carré qui ne peut surpasser N; X\ limite de la deuxième suite pour la deuxième approximation supposée, a un carré qui ne peut être inférieur à N. Par conséquent, X ne peut surpasser V .

D'autre part, X, limite de la deuxième suite pour la première approximation, a un carré qui ne peut être inférieur à N; X', limite de la première suite pour la deuxième approximation, a un carré qui ne peut surpasser N. Par conséquent, X ne peut tomber au-dessous de X'.

La limite X ne pouvant être ni supérieure ni inférieure à la limite X\ ces deux limites sont égales.

Le même raisonnement prouve que le carré de celte limite constante, commune aux deux suites de racines carrées par défaut et par excès précédemment définies, est égal au nombre donné N.

1^6 ITITHUiTIQVB.

C'est donc celte limite, dont nous approcherons autant que nous voudrons sans jamais l'atteindre, que nous appellerons la racine carrée exncte \/N du nombre entier ou fractionnaire N, qui n'est pas carré parfait.

291. Les nombres ne sont que la représentation des graildeurs. Si nous choisissnns une unité de longueur et. si nous supposons que les ternies des deux suites que nous venons de considérer représentent des longueurs portées sur une même droite, à partir d'une origine Hxe, les extrémités des longueurs mesurées par les termes de la première suite couvriront une certaine région de cette droite ; les extrémités des longueurs mesurées par les termes de la seconde suite en couvriront une autre. D'après ce qui précède, il n'existera entre ces deux réglons aucun empiétement ni aucun intervalle, mais un simple point de séparation. La distance de ce point à l'origine fixe sera la longueur incommensurable mesurée exactement par v'^.

Simplification qu'on pont apporter à l'extraction de la racine carrée.

29Î. Lonqiûon a calcuié en général plus île la moitié des chiures de la racine carrée d'an nombre entier, nn peai obtenir les autres chiffres en divisant le reste auquel on s'est arrêté par le double de la partie déjà écrite à la racine, suivie du nombre de zéros qui correspond imx unités qu'elle représente.

Soit N le nombre proposé. Désignons par a le nombre rornii- par la partie déjà écrite à la radne, suivie d'autant de zéros qu'il est néce-saire pour que le premier chiiTre de celte racine soil au rang qui convient aux unités qu'il représente. Appelons x \\\ quantité quelconque, commensorable ou incommensurable, qu'il faut ajouter à a pour avoir exactement la racine carrée de N. On aura aussi exactement

jel on parvient, lorsqu'on cesse de livant le procédé ordinaire. On a

Pour que la partie entière de jc soit, par défaut ou par excès, égale au

quotient entier (212) de — > il suflBt que l'expression • — soit une fraction

proprement dite ou que la partie entière de jP soit inférieure à na. Pour TafTirmer a priori, il faut que la partie entière de x^ contienne moins de chiffres que a a.

Cela posé , admettons d'abord que la racine cherchée doive contenir 1/2 -+- 1 chiffres. Si Ton a trouvé n-hi chiffres par le procédé habituel, X n'en contiendra plus que /z à sa partie entière; x^ en contiendra au plus in (40), tandis que ia en contiendra au moins 7.n-hi, Dans ce cas,

— sera une fraction moindre que l'unité.

De même, si la racine doit contenir 'in chiffres et si l'on en a déjà trouvé « -4- I, X en contiendra n — i à sa partie entière ; x* en contiendra au plus 2/z — 2, tandis que 2a en contiendra au moins 2/?. On arrive doDC encore à la même conclusion.

Enfin, si, la racine contenant toujours a/i chiffres, son premier chiffre est égal ou supérieur à 5, il suffît de chercher n chiffres par le procédé habituel. En effet, x^ contiendra alors au plus 2/1 chiffres, et 2a, à cause de la retenue, en contiendra 2/2-+- 1.

Si ce cas se présentait lorsque la racine renferme 2/2 + 1 chiffres et si l'on voulait ne chercher que n chiffres par le procédé ordinaire, x* contiendrait 2« -f- 2 chiffres au plus à sa partie entière, mais 2fl en contiendrait aussi 2«-+- 2, de sorte qu'il y aurait doute.

En résumé, on voit que, lorsque le nombre des chiffres de la racine est impair, il faut en calculer la moitié plus un avant de terminer l'opération en ayant recours à la division, et que, lorsque ce nombre est pair, il suffit d'en calculer seulement la moitié, si le premier chiffre de la racine est égal ou supérieur à 5.

Si l'on appelle r le reste de la division de R par 2a et </ le quotient de

R r cotte division, on peut remplacer — par 9 h ; d'où

' 'la 'la

On voit alors qu'en remplaçant x par g la racine est obtenue à l'unité près par défaut ou par excès, suivant que r est plus grand ou plus petit que x^ : cette racine serait exacte si l'on avait r = x*.

Mais, d'après l'égalité (2), si r est >x*, on a aussi x></ et, par iuiie, r > y'; si r est < x^, on a aussi x < ^ et, par suite, r < y* ; enfin, si r= x', j: = ^ et r= g^,

fl-t-y représence fionc la racine cherchée à' moins tVune unité, par défaut ou par excès, suivant que r est supérieur ou inférieur à <jr'; si Von a r= q^, a-t-q est la racine exacte.

De C — Coius I. la

IJ78 ABITHMÉTIQUE.

203. On peut demander de calculer, d'après les résultats fournis par Topération abrégée, ie reste que donnerait l'extraction delà racine si ron suivait la méthode ordinaire.

Quand la racine a-hq est obtenue par défaut, [a-^qY représente le plus grand carré entier contenu dans le nombre donné N. On a alors, d'après les égalités (i) et (2) du numéro précédent,

N = a'-+- nax-h x^= a^-^%aq

Quand la racine ûr h- y est obtenue par excès, {a-k- q — if représente le plus grand carré entier contenu dans le nombre donné N, et Ton a (275), en remarquant que a + ^ ^ i est la somme des deux quantités /z et 7 — i ,

N — (flH-y — 1)'= û'-+-arty-4-r-- [a* -H 2fl(7 — i)-H («7 — i)'],

c'est-à-dire

N— (a-Hçr — I)'=aûr-^^ — (7 — i)'.

294. Exemple. On demande de colcider la racine carrée de 3 avec huit décimales.

La question revient à chercher la racine carrée de S suivi de seize zéros à Tunité près. Puisque nous devons avoir neuf chiffres à la racine, nous chercherons d'abord les cinq premiers par la méthode ordinaire.

On a alors, d'après ce premier calcul,

2^=346400000 et R = 1760000000000.

Si nous divisons R par 2a (ou 17600000 par 3464), nous trouvons pour quotient q le nombre 5o8o et pour reste complété r le nombre 288000000 qui surpasse ^^ La racine demandée est donc 1,73205080, à l'unité près par défaut. En suivant la méthode ordinaire^ on aurait trouvé pour reste de l'opération r — 9'= 262193600. Voici le détail du calcul :

ARITHMÉTIQUE. ing