La table suivante donne les cubes des neuf premiers

nombres :

On peut remarquer que le cube d'un nombre est nécessairement terminé par le même chiffre que le cube de ses unités; mais cette remarque ne fournit aucun moyen de distinguer les nombres qui peuvent être cubes parfaits; car un cube parfait peut être indifféremment terminé par l'un des neuf premiers nombres, puisque les cubes des nombres terminés par 1, 4» ^9 6 et 9 le sont aussi pan, 4» ^1 6 et 9, tandis que les cubes des nombres terminés par 2, 3, 7 et 8 le sont Inversement par 8, 7, 3 et 2.

Si un nombre est terminé par un nombre quelconque de zéros, son cube est terminé par trois fois plus de zéros. Donc un nombre terminé par un nombre de zéros qui n'est pas multiple de trois ne peut pas être cube parfait. C'est le seul caractère d'exclusion que nous puissions indiquer.

Extraction delà racine cnbiqne d'nn nombre entier ou fractionnaire

à l'unité prés.

299. Nous commencerons par remarquer que, pour extraire la racine cubique d'un nombre fractionnaire à l'unité près, il suffit d'extraire à l'unité près la racine cubique de la partie entière de ce nombre.

Vax effet, pour que la racine cubique d'un nombre entier

croisse d'une unité, il faut que ce nombre croisse lui-même

au moins d'une unité, d'après la différence qui existe entre les

rubes de deux nombres entiers consécutifs (297). Si l'on

augmente un nombre entier d'une fraction proprement dite, *

on ne peut donc modifier la partie entière de sa racine eu-

iSn bique. Ainsi, extraire la racine cubique de 4^327 -+- j-^ à

Tunité près, ou extraire la racine cubique de 4^327 à l'unité près, revient au même.

300. Cela posé, et la question se trouvant ramenée dans tous les cas à extraire la racine cubique d'un nombre entier à l'unité près, il faut distinguer entre les nombres plus petits et plus grands que 1000.

l82 ARITHMÉTIQUE.

Lorsqu*un nombre est plus petit que looo, il suffit de consulter la table des cubes des neuf premiers nombres. On voit immédiatement, par exemple, que la racine cubique de 5i2 est 8; et que 276 tombant entre 216 et 343, sa racine cubique tombe entre 6 et 7, de sorte qu'elle est 6 par défaut et 7 par excès à l'unité près.

301. Si le nombre considéré est plus grand que 1000, comme 57817233, sa racine cubique est plus grande que 10; elle renferme alors des dizaines et des unités. Si le nombre donné est un cube parfait, il contient les quatre parties qui composent le cube de sa racine (297); s'il n'est pas un cube parfait, il contient, en outre, une cinquième partie qui représente son excès par rapport au cube de sa racine, et qu'on appelle le reste de l'opération.

Le cube des dizaines de la racine ne pouvant donner que des mille, le cube de ce nombre de dizaines est nécessairement contenu dans le nombre 67817 des mille du nombre proposé, et ce nombre 67817 peut renfermer, en outre, quelques mille provenant des autres parties du cube de la racine et du reste. En extrayant la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans 67817, on aura donc le nombre des dizaines de la racine cherchée ou un nombre trop fort. // est facile de voir que le résultat trouvé ne peut jamais être trop fort. En effet, si 38 est la racine cubique du plus grand cube entier compris dans 67817, le cube de 38 pourra se retrancher de 67817; par suite, le cube de 38o pourra se retrancher de 67817000 et, à plus forte raison, de 67817233.

On arrive ainsi à cette première règle : Le nombre des dizaines de la racine cubique d'un entier N > 1000 est toujours égal à la racine cubique du plus grand cube entier con-tenu dans le nombre des mille de N.

On estdonc conduit à extraire la racinecubique du plus grand cube entier contenu dans 67817, c'est-à-dire à extraire la racine cubique de ce nombre à l'unité près. Mais 67817 étant >> 1000, sa racine est plus grande que 10; les raisonnements précédents sont donc applicables, et il faut extraire la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans les 67 mille de 67817, pour obtenir les dizaines de sa racine cubique. Le plus grand cube entier contenu dans 67 est 27 dont la racine cuoique est 3. Le chiffre des dizaines de la racine cubique de

ATHTHM^TIQt)B. l83

57817 est donc 3; reste à trouver le chiffre des unités.

Pour cela, retranchons 27 de 57; on trouve 3o pour reste. En retranchant le cube de 3o, c'est-à-dire le cube des dizaines de la racine ou 27000 de 57817, on trouvera donc pour reste 80817. Le reste ainsi obtenu contient au moins le triple produit du carré des dizaines de la racine par les unités cherchées, plus le triple produit de ces dizaines par le carré des unités, plus le cube des unités. Le triple carré des dizaines par les unités ne pouvant donner que des centaines, le triple produit du carré de ce nombre de dizainespsir le chiffre des unités sera compris dans les3o8 centaines du reste 30817. £n divisant3o8 par le triple carré 27 du nombre de dizaines de la racine, on aura donc pour quotient le chiffre des unités de la racine ou un chiffre supérieur. En effet, 3o8 représente non-seulement le triple produit du carré du nombre de dizaines de la racine par ses unités, mais contient, en outre, les centaines des autres parties qui composent3o8i7. Le quotient obtenu doit donc toujours être essayé : le premier chiffre de la racine est le seul qui soit nécessairement exact.

On peut, par suite, énoncer cette seconde règle : Si l'on retranche d'un entier N le cube des dizaines de sa racine cubique, et qu'on divise le nombre des centaines du reste par le triple carré du nombre de dizaines de la racine, le quotient obtenu est égal ou supérieur au chiffre des unités de la racine,

3o8 divisé par 27 donne 11 pour quotient; mais, comme le chiffre cherché est inférieur à 10, nous essayerons 9 et même 8; car 9 serait trop fort, parce que le cube de 39 est supérieur à 57817. La racine cubique à Tunité près de 57817 est donc égale ou inférieure à 38. Si le cube de 38 peut se retrancher de 57817, le chiffre 8 est exact; sinon, il faut le diminuer d'une unité, et recommencer l'essai. Nous avons déjà retranché de 57817, 27000 ou 3o*; il faut donc vérifier seulement si l'on peut retrancher du reste 30817 les trois autres parties du cube de 38. Pour former ces 3 parties, on opère comme il suit.

1 84 AUITHMÉTIQDE •

Le triple carré de 3 étant 27, le triple carré de 3o est 2700: il suffit de multiplier 2700 par 8 pour avoir la première partie cherchée ou le triple carré des dizaines par les unités. Le triple produit de 3o par 8 est 720; 720 x8 représente donc le triple produit des dizaines par le carré des unités ou la seconde partie cherchée. Enfin, 64 X 8 représente le cube de 8 ou la troisième partie demandée. L'essai est ainsi ramené à voir si Ton peut retrancher du reste 30817 la somme 3484 X 8 ou 27872. La soustraction réussit, et le reste obtenu est 2945. 38 représente donc la racine cubique du plus grand cube enlier contenu dans 57817.

Par conséquent, en revenant au nombre 57817^33, 38 représente les dizaines de la racine cubique de ce nombre. Il reste à trouver le chiffre des unités.

En retranchant 38' de 67817, on trouve 2945; en retranchant le cube de 38o de 67817000, on trouve donc 2946000; et, par suite, en retranchant le cube, de 38o ou le cube des dizaines de la racine de 67817233, on trouve pour reste 2946233. 2946233 contient donc a2£ moins le triple carré des dizaines de la racine multiplié parles unités cherchées, plus le triple produit des dizaines par le carré des unités, plus le cube des uni> tés. Les centaines 29462 du nombre 2946233 sont donc au moins égales au triple carré du nombre 38 des dizaines de la racine, multiplié par les unités inconnues; et, en divisant 29462 par 38* X 3, on obtiendra un quotient égal ou supérieur à ces mêmes unités.

On peut facilement former, à Taide des résultats précédents, le triple carré de 38. On a

2 9 4 6 2.3 3 3484 = 3x3o»-i-3x3ox8-|-8» 2 6.4 o 4 6 6 64 = 8>

ARITHMÉTIQUE. l85

38»X 3 = 3 X 3o» + 6 X 3o X 8 -4- 3 X 8». Puisque 3484 représenle déjà 3 x 3o* -+- 3 x 3o x 8 + 8% il suffil d'ajouter à 3484» 720 ou 3x3ox8,64 ou 8% plus encore une fois 64 ou 8S pour compléter 38'x3 = 4332. En divisant 29452 par 4332, on trouve 6 pour quotient. La racine cherchée à Tunilé près sera donc égale ou inférieure à 386. Pour essayer le chiffre 6, il faut voir si Ton peut retrancher 386* du nombre donné. On en a déjà retranché le cube de 38o; il reste donc à voir si, du reste obtenu, on peut retrancher les trois autres parties du cube de 386. On a comme précédemment

L'essai consistera donc à retrancher du reste 2945233 la somme 440076x6 ou 2640456. La soustraction réussit, et le reste obtenu est 304777. La racine cubique demandée est donc 386 à Tuniié près par défaut, et 304777 représente le reste de Topéitiiion.

Si l'on emploie la simplification connue, le calcul présente la disposition suivante:

3o88 ii58

893976 ÎT91968

Dans la pratique, pour essayer les chiffres 8 et 6, on peut se contenter d'élever au cube les nombres 38 et 386, et de voir si Ton peut retrancher le premier résultat de 57817 et le second du nombre proposé lui-même. En formant le cube de 38, on obtient son carré, et Ton peut en déduire le produit 38' x 3, par lequel on doit diviser le nombre de centaines du reste 2945233. Nous avons indiqué les deux procédés.

302. En relisant attentivemenl les raisonnements précédents» on arrive à formuler la règle suivante :

Pour extraire la racine cubique d'un nombre entier à l'unité près, on le partage en tranches de trois chiffres à partir de la droite et en remontant vers la gauche, de sorte que la dernière tranche à gauche peut n'avoir qu'un ou deux chiffres. Le nombre des tranches obtenues indique le nombre des chiffres de la racine. On obtient le premier chiffre de la racine en extrayant la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans la dernière tranche à gauche. On retranche le cube de et* chiffre de cette même tranche et, à côté du reste, on abaisse la tranche suivante : on sépare les centaines de l'ensemble obtenu. En divisant ces centaines par le triple carré du premier chiffre de la racine, on a le second chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. Pour ressayer,, on peut opérer comme nous l'avons indiqué, ou, plus simplement, élever au cube le nombre formé par les deux premiers chiffres de la racine et voir si Von peut retrancher ce cube de V ensemble des deux premières tranches à gauche du nombre proposé. Si la soustraction est possible, le chiffre essayé est exact; sinon, on le diminue d'une unité, et Von recommence Vessai,Acôté dusecond reste obtenu, on abaisse la troisième tranche : on sépare les centaines de l'ensemble obtenu, on les divise par le triple carré du nombre déjà écrit à la racine; on a le troisième chiffre de cette racine qu'on essaye comme précédemment. On continue de la même manière, jusqu'à ce qu'on ait abaissé la dernière tranche.

303. Le reste de V opération ne peut pas dépasser 3 fois le carré de la racine, plus 3 fois cette racine.

En elTet, le nombre proposé N est égal au cube de sa racine A, plus le reste trouvé R. Si ce reste était seulement égal h 3A'-h3AH-i, le nombre donné égal à A*-i-R serait égal à A» 4- 3A* 4- 3 A -4-1 ou à (A 4- 1)». Sa racine cubique ne seraii donc pas A à l'unité près, mais bien A -f- 1 ; et la crainte d'écrire au résultat un chiffre trop fort en aurait fait écrire un trop faible.

Cette remarque s*appiique évidemment aux restes trouvés dans le courant de l'opération, comparés aux nombres déjà écrits à la racine.

ARiTHMiriQTm. 187

Extraction de la racine cnbiqne d'nn nombre entier on fractionnaire,

avec nne approximation quelconque.

30^. Extraire la racine cubique d'un nombre entier ou fractionnaire N, avec une approximation marquée par la fraclion -î c'est déterminer le plus grand multiple de - renfermé

dans v^N.

Désignons par x ce plus grand multiple; nous devrons avoir

Si l'on élève au cube les trois nombres considérés, les trois

résultats --, N, - — .-''- seront encore rangés par ordre de

grandeur croissante, et il en sera de même si on les multiplie par n*. On peut donc écrire

.r»<N/i*<(:rr-hi)».

X* est donc le plus grand cube entier contenu dans N/i*, et le nombre inconnu .r est la racine cubique de ce produite l'unité près.

On parvient ainsi à la règle suivante :

Pour extraire la racine cubique d*un nombre entier ou

fractionnaire N, à moins de - » il faut extraire la racine eu-

bique du produit N/i* d moins d'une unité, et diviser le résultat par n.