Si la fraction qui indique l'approximation demandée
est de la forme —9 on commence par la ramènera la forme
—9 et l'on applique ensuite la règle précédente en rempla*
n çant n par — •
l88 ARITHMÉTIQUE.
Racine cubique des fractions et des nombres décimaux.
306. Pour élever une fraction au cube, il faut élever ses deux termes au cube (218). Par conséquent, quelle que soil la
fraction proposée 79 on a d'une manière générale
le cube de la seconde expression étant v comme celui de la
première (295). Pour obtenir exactement la racine cubique d*une fraction, il faut donc que ses deux termes soient des cubes parfaits (296).
Lorsqu'il n*en est pas ainsi, il faut rendre le dénominateur de la fraction cube parfait, afin de pouvoir apprécier immédiatement le degré d'approximation obtenu; et, pour que cette condition soit remplie, il suffit de multiplier les deux termes de la fraction proposée par le carré de son dénortiinaleur. On a de celte manière
\'ab^ \Jab^
Si Ton extrait alors la racine cubique du produit ah* à l'unité près, comme on doit diviser par b le résultat trouvé, on obtient la racine cubique de la fraction ^ avec une approxima-
tion marquée par t*
307 Pour rendre le dénominateur de la fraction donnée cube parfait, il suffit d'ailleurs de multiplier les deux termes de la fraction par les facteurs premiers du dénominateur, élevés à des puissances telles que leurs exposants deviennent au dénominateur tous multiples de 3. On emploie ainsi le dénominateur cube minimum (286).
308. Soit, maintenant, à extraire la racine cubique d'un nombre décimal tel que 2487,8266. Pour que le dénominateur de la fraction décimale correspondante soit un cube parfait (307), il faut que ce dénominateur contienne un nombre de
AniTHMÉTIQUE. 189
zéros multiple de 3; on doii donc d*abord compléter ici, pur deux zéros, le nombre des chiffres décimaux du nombre donné. On a ensuite, d'après ce qui précède (306),
j — 7^ — Q ra â^ /24S7SÏ5GÔÔ y/ 2487826600 v^24878'>.5r'oo
V 1 000000 J^Tôô^ '^o
Si Ton extrait alors la racine cubique de 248'}8256oo à l'unité près, on obtient la racine demandée à 0,01 près.
On peut donc énoncer cette règle pratique : Pour extraire la racine cubique d'un nombre décimal, on complète par un ou deux zéros, s'il est nécessaire, le nombre de ses chiffres décimaux, de manière que ce nombre soit toujours multiple de 3; on extrait la racine cubique du résultat à l'unité près, en faisant abstraction de la virgule ; enfin on sépare sur la droite de cette racine trois fois moins de décimales quilny fn a dans le nombre donné, après que le nombre de ses chiffres décimaux a été rendu multiple de 3.
309. Le plus souvent la racine cubique d'un nombre entier ou fractionnaire doit être exprimée en décimales, et l'approximation demandée est elle-même une partie décimale de l'unité. On n'a, dans ce cas, qu'à appliquer la règle générale du n'» 304.
En nous reportant aux considérations développées au n"* 288, nous nous contenterons d'énoncer les deux règles suivantes :
Pour extraire la racine cubique d^un nombre entier "S à
— '^ près, il faut multiplier N par 10^, c'est-à-dire écrire 3 n zéros à sa droite, extraire la racine cubique du nombre obtenu, à l'unité près, et séparer n chiffres décimaux sur la droite de cette racine.
Pour extraire la racine cubique d'un nombre fractionnaire avec une approximation décimale donnée, on réduit ce nombre fractionnaire en décimales Jusqu'à ce qu'on obtienne trois fois plus de chiffres décimaux (') qu'on n'en veut à la racine, et l'on extrait ensuite la racine cubique du nombre décimal obtenu d'après la règle qui termine le n" 308.
(* ^ Nous verrons bientôt qu'on peut pousser beaucoup moins loin la réduo- Uon en décimales.
igO iniTHMÉTIQUE,
Des racines en général.
310. Comme nous Tavons déjà dit (77), extraire la racine m''*"' d'un nombre, c'est chercher le nombre qui, élevé à la puissance w, reproduit le nombre donné.
Pour indiquer la racine m*^* d'un nombre, on place ce nombre sous le
signe ^ , dans l'ouverture duquel on écrit le degré ou l'indice m de la racine. Ainsi v/^ représente la racine septième de ia8. Lorsquil s^ngit tVune racine carrée y on supprime l'indice.
Les racines des nombres entiers qui ne sont pas des puissances exactes de môme degré d'autres nombres entiers, et les racines des fractions irréductibles dont les deux termes ne sont pas des puissances exactes de même degré que la racine demandée, sont des nombres incommensurables dont on obtient les valeurs approchées en suivant une marche analogue à celle exposée avec détails dans le cas de la racine carrée.
Ainsi, Ton obtient la valeur de VN à - près en extrayant, à une unité
près, la racine du produit N/?*", et en divisant le résultat par /7« En outre, par le raisonnement employé aux n"^ 277 et 299, on établit immédiatement que pour extraire, à une unité près, la racine /w*^*"' d'un nombre quelconque, il suffit d'extraire la racine m*'^ de la plus grande puissance j^ctme entière contenue dans ce nombre.
EnGn, l'on démontre, en suivant le raisonnement du n"* 290, que si l'on extrait la racine m"'"* d'un nombre N, entier ou fractionnaire, qui n'est pas une puissance //i'^"** parfaite, par défaut et par excès, d'après une loi
d'approximation marquée par -^ j on forme deux suites indéfinies de frac^
tiens qui tendent vers une limite commune lorsque l'entier p croit indéfiniment.
C'est cette limite commune, indépendante de la loi d'approximation, que nous appelons la racine ni'"^ exacte rfc N et que nous représentons
par VN-
Par exemple,^ racine cubique d'an nombre, tel que i3, qui n'est pas un cube exact, est la limite de deux suites indéfinies de fractions dont les cubes tendent vers une limite égale h i3.
Mais l'extraction directe des racines de degré supérieur au deuxième n'est pas une opération pratique; c'est au moyen ^es logarithmes que cette extraction doit être cirectuée, comme on le verra plus loin. Le but que nous nous sommes proposé, en traitant de la racine cubique des nombres entiers, est simplement de donner une idée de la généralisation que comporte la th<^orie dHeloppée dans le Chapitre précédent*
AHITHMÉTIQUE. lyi
