CALCUL DES NOMBRES APPROCHÉS
Des nombres incommeiunirables et des opérations snr ces nombres.
311. Considérons une grandeur A qui soit incommensurable avec Tunité choisie, désignée par fi (268) : elle sera mesurée par un nombre incommensurable a (270).
n étant un nombre quelconque, entier ou fractionnaire,
formons la grandeur -9 et admettons qu'elle soit contenue
m fois dans A avec un reste moindre que - : le plus grand
multiple de ~ contenu dans A sera m-» et la grandeur incommensurable A sera comprise entre les deux grandeurs
commensurables m ~ et (m h- i) - • Si Ton conserve toujours
B comme unité, ces deux grandeurs commensurables seront mesurées (179) par les nombres — et •
On dit alors que — est une valeur approchée par défaut ^ à
moins de -9 du nombre incommensurable a qui mesure A,
et que est une valeur approchée par excès, à moins de
-) du même nombre, de sorte qu'on a
m ^ ^ m-hi — <a< •
Supposons maintenant, pour fixer les idées, qu*il s'agisse d'une longueur ab incommensurable avec l'unité choisie cd. Portons cd sur ab autant de fois que possible.
192 ARlTHMfvTIQUE.
Si ab contient 2 fois crf, avec un reste eb moindre que crf, le nombre incommensurable X qui mesure ab esl compris entre les nombres 2 et 3, qui sont ses valeurs par défaut et par excès à Tunité près.
e gi
fh
Divisons l'unité crf en dix parties égales et portons Tune de
cd ces parties, /<f= — » sur eb autant de fois que possible. Si le
reste eb contient 5 fois/rf, avec un reste gb moindre que/rf, le nombre incommensurable À est compris entre les nombres 2,v5 et 9, ,6, qui sont ses valeurs par défaut et par excès à un dixième près.
Divisons encore /rf en dix parties égales, et portons Tune
de ces parties, hd=z J— = —, sur p-6 autant de fois quepos-
sible Si le reste gb contient 7 fois hd, avec un reste 16 moindre que hd, le nombre incommensurable A est compris entre les nombres 2,57 et 2,58, qui sont ses valeurs par défaut et par excès à un centième près.
Comme la longueur ab est supposée incommensurable avec Tunité choisie, l'opération que nous venons d'indiquer se poursuivra indéfiniment, sans qu'on puisse parvenir à un reste nul; et nos moyens d'investigation pourront seuls être en défaut pour apprécier les restes successifs, à cause de leur petitesse.
Quoi qu'il en soit, nous obtiendrons de cette manière deux séries de nombres commensurables, tels que
Ceux de la première série représentent les valeurs par défaut du nombre incommensurable X, ceux de la seconde série représentent les valeurs par excès du même nombre.
Ces deux séries de nombres commensurables tendent d'ailleurs, sans jamais l'aiicindre, vers une même limite (267) qui est précisément le nombre incommensurable X.
En effet, les nombres de la première série ne pouvant décroître, par suite de la marche adoptée, vont eu général en
ÀUITBMÉTIQ V E. J 9 ')
croissant, tout en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série : ils s'approchent donc d'une certaine limite ûxe.
De même, les nombres de la seconde série ne pouvant croUrcvont en général en décroissant, tout en restant supérieurs à un nombre quelconque de la première série : ils s'approchent donc d'une certaine limite fîxe.
Les deux limites sont les mêmes; car les termes correspondants dca deux séries diffèrent, lorsqu'on arrive au rang
(/) H- 1), de — - • Or cette différence diminue à mesure que p
augmente, c est-à-dire à mesure qu'on avance dans les deux séries, et tend autant qu'on veut vers zéro quand p augmente indéûniment.
En même temps, la grandeur incommensurable ab est la limite commune des grandeurs commensurables mesurées par les nombres commensurables des deux séries.
Nous venons de considérer spécialement une longueur, et nous avons choisi une approximation décimale; mais il est clair qu'un raisonnement analogue peut s'appliquer aux grandeurs mathématiques de toute espèce, et que la loi suivant laquelle varie l'approximation successivement obtenue peut être quelconque, pourvu que cette approximation soit exprimée par un nombre déplus en plus petit et tendant vers zéro. C'est ce que nous allons montrer.
Soit une grandeur incommensurable quelconque A; désignons par On et a^ les valeurs approchées à moins de -» par
défaut et par excès, du nombre incommensurable a qui mesure A.
Remarquons que (d'une manière générale) a^, ne croît pas toujours avec n. Si nous considérons, par exemple, la diagonale d'un carré en prenant son côté pour unité, cette diagonale est représentée par yfi, et si l'on extrait cette racine par
défaut, à — près d'abord, et ensuite à — près, on trouve —
lO '^ Il '^ lO
et —i c'est-à-dire a^^x <C «/»• Pour lever toute difficulté, nous appellerons valeur prin-
De C. — Cours. I. l3
194 ÀmiTBMÉTfQW.
cipale (*] de a, a moins de - par défaut, la plus grande de
toutes les valeurs de an quand on fait croître n de zéro jusqu'à n, et nous désignerons cette valeur principale par a^- De celle manière» quand n crottra, la valeur principale </.„, croîtra aussi ou, du moins, ne décroîtra jamais.
Remarquons, de même, que a'^ ne décroît pas toujours à mesure que n augmente. Si nous considérons, par exemple, le côté du triangle équilatéral inscrit dans une circonférence dont le rayon est Tunité choisie, ce côté est représenté
par v/3, et si Ton extrait celte racine par excès, à — près d^abord, et ensuite à — près, on trouve — et — » c'est-à-dire
Nous appellerons donc valeur principale de a, à moins de -
par excès, la plus petite de toutes les valeurs de a'„ quand on fait croître n de zéro jusqu'à n, et nous désignerons celle valeur principale par oc'„. De cette manière, quand n croîtra^ la valeur principale oc'^ décroîtra ou, du moins, ne croîtra jamais.
Cela posé, a» mesurant une grandeur inférieure à A, reste également inférieur, quel que soit n, à Tune quelconque des valeurs a), approchées par excès; et, comme ocn ne peut décroître lorsque n croît indéfiniment, la série des valeurs de a» tend vers une certaine limite fixe.
De même, a^, mesurant une grandeur supérieure à A, reste également supérieur, quel que soit n, à Tune quelconque des valeurs a„ approchées par défaut; et, comme a^, ne peut croître lorsque n croît indéfîniment, la série des valeurs de a„ tend aussi vers une certaine limite flxe.
Ces deux limites, d'ailleurs, se confondent; car, par définition, les valeurs principales a„ et«î, sont comprises entre a^ et
a'n et, par suite, leur différence est moindre que a^ — a^^ = -?
fraction qui tend vers zéro autant qu'on veut lorsque n croît indéfiniment.
Cette limite commune qui, par conséquent, est aussi celle vers laquelle tendent en même temps les séries des valeurs cor-
(*) Foir la Note I des Éléments de Géométrie, par Eugène Rolcué et Co. de CouBKEOi'ssB ; 3* édition entièrement refondue, i88i.
AUITHMÉTIQTJE. 1^5
respondantes de a^ et de à^, est le nombre incommensurable a. La grandeur incommensurable A est, à son tQur^ la limite commune des grandeurs commensurables représentées par ces mêmes séries de nombres commensurables.
312. Nous pouvons maintenant préciser les opérations arithmétiques au point de vue des nombres incommensurables.
Puisque les nombres ne sont que la représentation des grandeurs, on est conduit à cette définition générale.
Le résultat de toute opération sur des nombres incommensurables est. la limite des résultats fournis par la même opération appliquée à leurs valeurs approchées à moins de - » par
défaut ou par excès, lorsque n crott indéfiniment.
Nous allons vérifier, pour chaque opération arithmétique, que cette limite existe et qu'elle ne dépend pas de la manière dont n croît indéfiniment.
Dans ce qui suit, nous désignons par a et ^ les deux nombres iocommensurables proposés ; par a^ et a),, 6„ et b'^y les valeurs de ces nombres approchées par défaut et par excès à moins
de -; par a„ eiaj,, (3„et(3^i les valeurs principales correspondantes. 11 résulte de ce qui précède que a est la limite commune de a„, a'^y an, ««, comme p celle de 6», 6^^, (3/ï, p^, quand Il croît indéfiniment.
Addition. — On veut définir la somme des deux nombres incommensurables a et {3.
Formons les deux sommes «„ -+- Çin et ot,t -h p';, ; lorsqu'on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque, elles constituent deux séries correspondantes.
Les nombres de la première série, sommes des valeurs principales par défaut, ne pouvant décroître (311), croissent en général en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série. les nombres de la seconde série, sommes des valeurs principales par excès, ne pou\anl croître, décroissent en général en restant supérieurs à un nombre quelconque de la première série. Les nombres des deux séries " convergent donc vers une limite, qui est la même pour les deux suites; car, en s*arrétant à un rang quelconque, la différence
(«« -H P/«) - («« -+- M ou ( «; - a„) -f- (P;, - (3,,)
igB An ITH MEXIQUE.
quel que soit n, on a aussi, à la limite,
La valeur du produit a(3, telle qu'on vient de la définir, est donc indépendante de Tordre des facteurs.
Il en résulte que le théorème fondamental relatif au changement d'ordre des facteurs d'un produit (66) s'étend, avec toutes ses conséquences, au pas d'un nombre quelconque de facteurs incommensurables.
Division. — On veut définir le quotient des deux nombres incommensurables oc et ô.
Formons les deux quotients ^r et ^; quand on fait croître
n indéfiniment d'une manière quelconque, ils constituent deux séries correspondantes.
Les nombres de la première série, ne pouvant décroître d'après la définition des valeurs principales, croissent en général en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série. Les nombres de la seconde série, ne pouvant croître, décroissent en général en restant supérieurs à un nombre quelconque de la première série. Les nombres des deux séries convergent donc vers une limite, qui est la même pour les deux séries; car, en s'arrétant à un rang quelconque, on a
«rt . «^ Xn ^ P/t
et nous savons (311) que les deux fractions du second membre de celle identité tendent en même temps vers l'unité, lorsque n croît indéfiniment.
C'est cette limite commune qui est le quotient ^^
Ce quotient est donc la limite du quotient qu'on obtient en divisant deux valeurs approchées correspondantes de a ei
de (3, l'approximation - de ces valeurs pouvant avoir lieu
dans un sens quelconque, pourvu que n croisse indéfiniment.
Comme on a, quel que soit n,
«» = Pu • «7 »
Â.RITBMéTIQVE. igg
on a aussiy à la limite.
et le quotient ^ est bien (212) le nombre qui, multiplié par^, reproduit a.
Racles. — Nous avons défini (310) la racine m**"» exacte d'un nombre N, entier ou fractionnaire , qui n'est pas une puissance m'^"'* parfaite, et nous avons représenté cette racine par le symbole y^N.
Si le nombre commensurable N est remplacé par un nombre incommensurable %, nous dirons de même que la racine m'**' exacte de X est le nombre incommensurable qui, élevé à la puissance w'*^"*«, reproduit X, et nous représenterons cette racine par y a.
£n remplaçant X par des valeurs commensurables de plus en plus approchées, on approche aussi de plus en plus de la valeur exacte \}.; c'est ce que nous verrons dans les paragraphes qui vont suivre.
Des questions qui se présentent dans le calcnl des nombres
approchés.
313. Les nombres approchés s'introduisent directement lorsqu'on a à opérer sur des nombres incommensurables; mais l'imperfection de nos sens, jointe à celle de nos instruments de mesure, nous oblige à employer de pareils nombres toutes les fois qu'il s'agit d'applications réelles. Il est donc indispensable d'établir des règles pratiques très-simples qui permettent de résoudre rapidement, pour les six opérations de l'Arithmétique, les deux questions suivantes :
I*» Des nombres approchés devant être soumis à une cer-^ t€d ne opération, indiquer le degré d'approximation sur lequel on peut compter au résultat;
a*» Le degré d'approximation du résultat d'une opération à effectuer sur des nombres définis étant fixé d'avance, indi^ queravec quelle approximation ces nombres doivent être euxmêmes calculés.
En suivant ces règles, on évitera (ce qui arrive encore trop souvent) de formuler des résultats compliqués d'un grand
200 ÀHITHMÉTIQUE.
nombre de décimales dont la plupart sont douteuses ou fau* tives, et Ton ne fera plus intervenir dans un calcul que les chiffres des données qui, eu égard au degré d'approximation demandé» doivent être seuls conservés.
De reireur absolue et de l'erreur relative d'un nombre.
314. Uerreur absolue d'un nombre est la différence qui existe entre sa valeur approchée et sa valeur exacte» Suivant que la valeur exacte est supérieure ou inférieure à la valeur approchée. Terreur absolue est commise par défaut ou par excès.
L'erreur relative d'un nombre approché est le quotient de i erreur absolue de ce nombre, divisée par sa valeur exacte.
Par suite, l'erreur absolue est égale au produit de l'erreur relative par le nombre exact.
C'est Terreur relative qui permet de juger le plus exactement du degré de précision obtenu dans un calcul ou dans une mesure, puisqu'elle montre de quelle manière Terreur absolue totale se répartit sur les différentes unités du nombre donné.
Soit, par exemple, le nombre exact 35,62724. Si Ton néglige ses deux derniers chiffres décimaux, on néglige une quantité inférieure à 0,001 ; par conséquent, on commet une erreur absolue par défaut moindre que 0,001.
L'erreur relative correspondante est alors moindre que
sIb^ ""• '»>'•''■<'"' q»« zàr^-
315. Désignons d'une manière générale par A un nombre exact, par A' et A" deux valeurs approchées de ce nombre, la première par excès, la seconde par défaut. Représentons en même temps par e Terreur absolue commise sur A quand on le remplace par Tune de ses deux valeurs approchées, et par r Terreur relative correspondante. Nous aurons, par définition (314),
''= T^ d'où r< — et e<Zr\'.
En divisant Verreur absolue d'un nombre par une valeur
ahitbmétique. 201
(le ce nombre approchée par défaut^ on obtient donc une limite supérieure de son erreur relative.
De même, en multipliant l'erreur relative d'un nombre par une valeur de ce nombre approchée par excèSy on obtient une limite supérieure' de son erreur absolue.
316. I. Si y dans un nombre approché , on peut compter^ à partir du premier chiffre à gauche et y compris ce chiffre^ (» -h i) chiffres exacts^ l'erreur relative de ce nombre est moindre que l'unité divisée par son premier chiffre à gauche suivi de n zéros.
Soit le nombre 59,4^743» dans lequel les cinq premiers chiffres à gauche sont exacts. L'erreur relative de ce nombre aura pour limite supérieure (315)
ou
5o Ôoooo 5x xo'
Considérons encore le nombre 0,000487?., dont les trois premiers chiffres signiQcalifs sont exacts. L'erreur relative de ce nombre aura de même pour limite supérieure
> — ou -7 — = 7
On voit, par ce dernier exemple, que lorsqu'il s'agit d'un nombre décimal sans partie entière, les zéros qui peuvent exister entre son premier chiffre signifîcatif et la virgule ne doivent pas compter dans l'évaluation des chiffres exacts.
En résumé, si l'on désigne par K le chiffre des plus hautes unités du nombre proposé, et si ce nombre comprend {n -f- 1) chiffres exacts, son erreur relative a pour limite supérieure le quotient
Kx 10"
Dans la pratique on substitue souvent, pour plus de simplicité, l'unité au chiffre K, et l'on remplace l'expression précédente par le quotient supérieur — ;;•
