Remarque. —Reprenons le premier des exemples precé
ahithmétiqve. 2o3
dents. Puisque nous ne pouvons compter que sur les cinq premiers chiffres à gauche du nombre 324,82179, nous devons supprimer les trois chiffres suivants. Mais, en remplaçant ainsi 324,82179 par 824,82, la suppression delà partie 179 correspond à une seconde erreur par défaut qui vient s'ajouter à la première ou s'en retrancher, suivant que le nombre donné est approché lui-même par défaut ou par excès. Dans le second cas, les deux erreurs, de sens contraires, se compensent dans une certaine proportion, et on laisse le dernier chiffre conservé tel qu'il est. Dans le premier cas, comme la somme des deux erreurs de même sens pourrait dépasser une unité de l'ordre de ce dernier chiffre, il faut l'augmenter d'une unité. Mais, si l'on ignore le sens de l'erreur commise sur le nombre donnée on ne peut plus faire cette correction, et tout ce qu'on peut affirmer, c'est que la somme des deux erreurs n'atteint pas deux unités de l'ordre du dernier chiffre conservé.
319. Dans les calculs d'approximation, il est utile de se servir, suivant les cas particuliers qu'on a à traiter, soit de la considération de l'erreur absolue, soit de celle de l'erreur relative.
Addition et soiutractlon.
320. Pour ces deux opérations, c'est l'erreur absolue dont il convient de tenir compte. Les règles à appliquer sont alors identiquement les mêmes que celles indiquées (258, 259) relativement à l'addition et à la soustraction abrégées. Nous nous contenterons donc de les rappeler.
Pour obtenir la somme de plusieurs nombres à mo
j^ 1, il faut, en supposant qu'il n'y ait pas plus de dix
nombres à considérer, calculer chacun d'eux par défaut à
moins de ? puis les ajouter et supprimer le dernier chiffre
adroite du total, en forçant l'unité sur l' avant-dernier chiffre.
Pour obtenir la différence de deux nombres à moins de
— 5 il faut les calculer tous les deux , par défaut ou par
ao4 ÀRITHICÉTIQUE.
excès, à moins de ? puis retrancher les valeurs ainsi trou-
vées.
321. Les réciproques des règles qu'on vient d'énoncer sont évidentes.
Si Von a à ajouter au plus dix nombres approchés et que^ parmi les fractions qui indiquent leur degré d* approximation ^ la plus grande soit , on ne devra conserver que
p décimales dans chacun des nombres proposés; leur total
sera alors obtenu à moins de -9 en suivant la règle du
De même, si l'on a à retrancher deux nombres approchés et que la plus grande des deux fractions qui indiquent leur
degré d'approximation soit — -9 on conservera p décimales
dans les deux nombres donnés, en faisant en sorte qu'ils soient approchés tous les deux dans le même sens, et leur différence
présentera la même approximation (320).
Hultiplication et division.
322. 1. L'erreur absolue du produit de deux facteurs, Vun exact. Vautre approché, est égale au produit du facteur exact par l'erreur absolue du facteur approché.
L'erreur relative du même produit est égale à V erreur relative du facteur approché,
Soity en effet, le produit ab dont les deux facteurs sont exacts. Substituons au premier facteur une valeur approchée par défaut telle que a — ol. Le produit approché sera alors (a — oL)b ou (64) ab — boc; son erreur absolue sera donc 6a,
et son erreur relative (314) — 7 ou -• •
ab a
La conclusion serait évidemment la même si le facteur inexact était approché par excès.
323. IL L'erreur absolue du produit de deux facteurs, tous deux approchés par défaut, est moindre que la somme des
▲aiTHMÉTTQUE, 2o5
résultats qu'on obtient en multipliant chaque facteur par l'et' reur absolue de l'autre.
L'erreur relative du même produit est moindre que la somme des erreurs relatives des deux facteurs.
Soity en effets le produit ab dont les deux facteurs sont exacts. Substituons à ces deux facteurs des valeurs approchées par défaut telles que a— a et é — p. Le produit approché sera alors
(a — a)X(6 — p) ou (64, 62) ab— bec — a^-^c^; son erreur absolue sera, par conséquent,
et son erreur relative
;- — ■- ou - + x — x^-
ab a b a b
On voit, en même temps, que la différence entre Terreur absolue ou relative et la limite correspondante, indiquée dans l'énoncé, est le produit des erreurs absolues ou relatives de^ deux facteurs.
On prouverait, par un raisonnement analogue, que :
L'erreur absolue du produit de deux facteurs approchés par excès est égale à la somme des résultats qu'on obtient en multipliant chaque facteur par l'erreur absolue de Vautre et les deux erreurs absolues entre elles.
L'erreur relative du même produit est égale à la somme dfis erreurs relatives des deux facteurs y augmentée du produit de ces erreurs*
De même :
L'erreur absolue du produit de deux facteurs approchés en sens contraires est égale à la différence des résultats qu'on obtient en multipliant chaque fadeur par l'erreur absolue de l'autre, cette différence devant être augmentée ou diminuée du produit des erreurs absolues des deux facteurs.
L'erreur relative du même produit est égale à la différence df's erreurs relatives des deux facteurs y augmentée ou dimi^ nuée du produit de ces erreurs.
