Dans les calculs qui exigent de la précision, les er
reurs absolues ou relatives des nombres approchés sur lesquels on opère sont, en général, de très-petites fractions. Le produit de deux pareilles fractions peut alors être négligé devant l'une d'elles, d'autant plus qu'on ne se propose ici, en réalité, que de déterminer l'ordre d* unités au delà duquel les chiffres trouvés peuvent être fautifs.
On peut donc, au point de vue pratique, adopter l'énoncé suivant :
L'erreur absolue d'un produit de deux facteurs est égale à la somme ou à la différence des produits qu^on obtient en multipliant chaque facteur par l'erreur absolue de Vautre,
L erreur relative du même produit est égale à la somme ou à la différence des erreurs relatives des facteurs.
Dans les cas particuliers où l'énoncé ainsi modiQé ne serait pas applicable, on reviendrait à l'énoncé exact.
En s'en tenant à l'énoncé modifié, on voit qu'on obtiendra toujours une limite supérieure de l'erreur absolue ou relative d'un produit de deux facteurs approchés, en faisant la somme des produits de chacun d'eux par l'erreur absolue de Vautre ou en faisant la somme de leurs erreurs relatives.
C'est cette règle usuelle que nous appliquerons désormais. On peut retendre immédiatement au cas d'un nombre quelconque de facteurs.
325. III. L* erreur absolue d'un produit de n facteurs ap^ proches a pour limite supérieure la somme des résultats qu'on obtient en multipliant l'erreur absolue de chaque facteur par le produit des (n — i ) autres facteurs.
L* erreur relative de ce même produit a pour limite supérieure la somme des erreurs relatives de tous les facteurs qui le composent.
Pour établir cette proposition, il suffit de prouver que, si elle est vraie dans le cas de ( /i — i) facteurs, elle l'est nécessairement dans celui de n facteurs. On pourra alors s'élever successivement du cas de deux facteurs (324) à celui d'un nombre quelconque de facteurs (').
Soient a, 6, c, . ,, A, /r les (/i — i) facteurs donnés, dont les erreurs absolues sont a, [3, y,. . ., yi, x. Si Ton désigne par
(*) C'est là un mode de démonstration Irôs-usité et qu'il faut remarquer dèâ à présent.
àhithmétiqve. 207
E' et par R' l'erreur absolue et l'erreur relalive du produit de ces (n — i) facteurs, on a, par hypothèse,
E' <^bc, , ./ra-h ac. . ./ij3 -h. . .-t- abc.Jix
abc k
Si l'on considère un /i""* facteur / dont Terreur absolue soit X, on pourra regarder le produit abc.hld comn>e formé des deux facteurs abc.Jik et /, de sorte qu'en désignant son erreur absolue par £ et son erreur relative par R on aura (324)
et
En remplaçant W et R' par les limites précédentes, il viendra, afortioriy
E< bcJda-h ac.kl^ -h... -h abc. . JiU -h abc. . Jik'k
abc kl
Le théorème est donc démontré; car, établi pour le cas de deux facteurs (324), il le sera, d'après ce qu'on vient de voir, pour le cas de trois facteurs; on pourra alors, du cas de trois facteurs, passer à celui de quatre, et ainsi de suite indéfmimcnu
326. IV. L'erreur absolue du quotient de deux nombres approchés a pour limite supérieure la somme des produits de chacun d'eux par P erreur absolue de l'autre, divisée par le carré du diviseur.
L'erreur relative de ce même quotient a pour limite supérieure la somme des erreurs relatives du dividende et du diviseur.
Supposons d'abord le diviseur approché par excès.
Soient a et 6 deux nombres exacts. Remplaçons-les par
tioS ahithmétique.
les nombres approchés a — a el o -4- (3. Le qnoiîeni , ^ sera
alors approché par défaut, et son erreur absolue sera représentée par la différence
a a — a a ^ -h hoc
Cette erreur absolue sera donc moindre que
r/6 -^ hy.
Quant à l'erreur relative du quotient, elle sera alors inférieure
au résultat précédent divisé par le quotient exact y (31ilh},
c'est-à-dire à
^S -4- fta b y Cf. 6
-^— j- — X - ou a - H- Çb^ a a b
Si l'on remplace les nombres exacts a et 6 par des nombres a + a et 6 + (3, tous deux approchés par excès, on ne sait plus dans quel sens le quotient est approché. Son erreur absolue est alors égale à
a a-^ a, ni^ — ba
ou à
a -^ OL
a ba — nQ
Elle est donc, dans les deux cas, moindre que jz — -9 et
Terreur relative correspondante est aussi inférieure à — H ^*
Supposons maintenant le diviseur approché par défaut.
Si l'on remplace les nombres exacts a et 6 par les nombres approchés a -f- a et fr — S, le quotient est approché/?«re^cè*. Son erreur absolue devient
et son erreur relative
a6 "^ ha
Si Ton remplace enfin les nonobres exacts a et 6 par des nombres a — a et 6 — p, tous deux approchés par défaut, on ne sait plus dans quel sens le quotient est approché. Son erreur absolue est donc égale à
ou a
de même, son erreur relative a pour expression
ha — ^3 ^S — ha
'^ ou
Le théorème énoncé n'est donc rigoureusement exact que lorsque le diviseur est approché par excès.
C'est une condition qu'il est, en général, facile de remplir. D'ailleurs, dans la pratique, ^ est le plus souvent négligeable devant b. Au point de vue où l'on est placé dans le calcul des nombres approchés (32^), on peut donc, quand le diviseur est donné par défaut, remplacer, dans l'expression de Terreur absolue, le dénominateur è(6 — (3) par 6*, et regarder alors les deux résultats •
a& -^ ha a S
comme représentant, dans tous les cas, des limites supérieures de Terreur absolue et de Terreur relative du quotient.
327. Si le dividende est exact, il faut faire a =: o. L'erreur absolue du quotient est, dans cette hypothèse, égale à ^, et
son erreur relative se réduit à x ou à Terreur relative du divl-
S8ur, comme cela doit être (322).
Si le diviseur est exact, il faut faire (3 = o. L'erreur abso*
De C. — Cours, !. I^
lue du quotient devient -r? et son erreur relative - (322). On
voit que l'erreur absolue du dividende se trouve divisée par le diviseur exact.
Règles pratiques relatives à la multiplication et à la division
des noBibres approchés.
328. Le plus simple, pour ces deux opérations, est de recourir aux erreurs relatives. Si Ton détermine, en effet, une limite supérieure de l'erreur relative de chacun des nombres proposés, les théorèmes précédents (325, 326) permettront d'en déduire une limite supérieure de l'erreur relative du produit ou du quotient cherché. Cette limite étant calculée, on saura (317) sur combien de 'chiffres exacts on peut compter au résultat.
329. I. Pour obtenir le produit ou le quotient de deux nombres approchés, avec m chiffres exacts, il suffit de connaître chacun de ces nombres avec m + 2 chiffres exacts.
En effet, pour que le résultat demandé présente m chiffres exacts, il sufOt (317) que son erreur relative soit moindre
que — ^9 et, par suite (325, 326), que l'erreur relative de
chacun des nombres proposés soit moindre que ;;• Or
c*est ce qui aura lieu si, chacun de ces nombres étant pris avec (m H- 2) chiffres exacts, son erreur relative est inférieure
^ 9 quantité moindre elle-même que
330. Le plus souvent, dans la pratique, chacun des deua: nombres donnés na besoin d'être déterminé quavec (m -f- i) chiffres exacts; car, lorsque le premier chiffre à gauche d'un pareil nombre est supérieur à Tunité, son erreur relative est
moindre que (317).
331. De pnême, lorsqu'un des deux nombres donnés est exact y il suffit toujours de calculer l'autre nombre avec (m -4- i) chiffres exacts; car l'erreur relative du résultat, égale à celle du nombre seul approché (322, 327 ), est alors toujours inférieure
332. II. Réciproquement» lorsque celui des deux nombres approchés qui contient le moins de chiffres exacts en contient my le produit ou le quotient de ces deux nombres peut être obtenu avec {m — 2 ) chiffres exacts.
En effet, Terreur relative de chacun des nombres donnés
est alors moindre que — ~-î et, par suite. Terreur relative du résultat cherché n'atteint pas — ^;z:i^ quantité moindre que
333. Le plus souvent, dans ta pratique, on peut compter sur m — I chiffres exacts. Il suffit pour cela que Terreur relative du résultat cherché n'atteigne pas ^ -, or c'est ce qui
aura lieu si aucun des nombres proposés ne commence par i, puisque Terreur relative de chacun d'eux sera alors inférieure
334. De même, lorsque l'un des nombres donnés est exacte on peut toujours compter sur m — i chijfres exacts au résultat, si l'autre nombre présente m chiffres exacts. Dans ce cas, en effet, Terreur relative du résultat se trouve réduite à Tei^
reur relative du seul nombre approché, et a pour limite supé-
rieure — -— .•
335. On a souvent à multiplier ou à diviser l'un par l'autre deux nombres tels que k et B, dont le premier A renferme seulement m chiffres exacts ^ et dont le second B peut être obtenu, comme t:, v^2, . . . , avec une approximation illimitée.
On remarque alors que, si B pouvait être connu exactement, on ne pourrait répondre, au plus (334), que de m — i chiffres dans le résultat. On pourra atteindre ici cette même limite^ si le nombre A ne commence pas par i ; car, en calculant B avec m chiffres exacts, s'il ne commence pas par i, et avec m 4- I chiffres dans le cas contraire. Terreur relative du résultat sera moindre que h ; dans le premier cas,
et que -— : A dans le second, c'est-à-dire toujours in-
lerieure a — — :;•
a 1 2 ARITHMÉTIQUE,
Si le nombre A commence par i^ on ne pourra compter que sur m — 2 chiffres dans le résultat. En effet, on peut seulement afOrmer que l'erreur relative de A est moindre que
— j;;^,- Par suite, quel que soit le nombre de chiffres avec lequel on calcule B, on ne pourra pas faire tomber l'erreur relative du résultat au-dessous de — —-En prenant alors B avec m chiffres exacts comme A, Terreur relative du résultai sera moindre que — ^^^ 4- — ^^^ ou que — ^^^ ce qui permettra de compter, dans ce résultat, sur m — 2 chiffres.
336. Les théorèmes des numéros 329 et 332 s'étendent immédiatement au cas d'un produit composé de plus de deux facteurs approchés, pourvu que le nombre p de ces facteurs soit inférieur à 10.
Pour obtenir le produit avec m chiffres exacts^ il suffit alors de calculer chacun des facteurs proposés avec ( m 4- 1) ow (m -+- 2) chiffres exacts, suivant nue son premier chiffre à gauche k est plus grand ou plus petit que p.
En elTet, pour pouvoir compter sur m chiffres exacts au produit, il faut que son erreur relative soit inférieure à — ; c'est ce qui aura lieu (325), si l'erreur relative de chacun de ses
facteurs est inférieure à ;^-0r, si l'on calcule exactement
les (m+ i) premiers chiffres à gauche d'un facteur dans lequel k est >p, son erreur relative moindre que t ;;sera,
a fortiori, moindre que ; et, si l'on calcule exactement
les (m -4- 2) premiers chiffres à gauche d'un facteur dans lequel k est*<p, son erreur relative inférieure à -, ou
à — -. sera encore, a fortiori, moindre que
io/lio'" ^ j > ^ yj.io*
Réciproquement, si, parmi p facteurs approchés (/>< 10), celui qui renferme le moins de chiffres exacts en contient m, le produit de ces p facteurs peut être obtenu avec (m — 2) chiffres exacts.
En effet. Terreur relative de chaque facteur est moindre
AUITHMÉTIQUE. 2 1?
q"6 T — ,;^> en désignant par k le chiffre de ses plus hautes
unités. Pour k^p. cette limite est moindre que -„— ei,
pour k<CPf elle est inférieure à — -^^zi» puisqu'on a toujours ioA->/?. La somme des erreurs relatives âesp facteurs est donc certainement inférieure à — —.— ou à — — -^ de
sorte qu'on peut compter sur (m — i) chiffres exacts au produit.
On voit que si, pour tous les facteurs proposés, on avait fr>/?, on pourrait compter sur (m — i) chiffres exacts au produit.
Applications.
