i** Calculer^ à moins de 0,0 1, le produit

P = iooo7r(/5 — 1).

La partie entière de P ayant évidemment 4 chiffres, on demande lo résultat avec 6 chiffres exacts. D'après la règle du n° 329, on devrait

donc calculer chacun des facteurs looofr et y/^ — i avec 8 chiffres; mais, le dernier seul commençant par i, il suffira (330) de calculer le premier avec 7 chiffres. On aura ainsi, par défaut, loooTr = 3141,592 et

v/S — I = 1,2360679. Par suite, en désignant par a une quantité moindre que 0,01, on peut écrire

Il y a lieu alors de se servir de la méthode de la multiplication abrégée (260), pour calculer le produit 3i4i, 592 x 1,2360679 à 0,01 près.

3883,2199 Mais ici se présente une remarque, a désigne l'erreur qui résulte du

nombre de chiffres pris dans les deux facteurs approchés. La multiplication abrégée en introduit une seconde, également inférieure à o,oi.

Il faut évidemment faire en sorte que ces deux erreurs soient de sens contraires, pour pouvoir affirmer que le produit P est obtenu à moins de 0,01 , par défaut ou par excès.

Or, les deux facteurs considérés étant approchés par défaut, a représente une erreur par défaut. D'ailleurs, sur le produit abrégé 3883,2199, Terreur par défaut est moindre (2G0) que

ou que 34 dix-millièmes. Le produit 3141,592x1,2360679 est donc compris entre 3883,2199 et 3883,2233. En prenant pour ce produit 3883 ,2233, l'erreur par excès est au plus de 34 dix-millièmes ; en prenant 3883,23, cette erreur par excès a pour limite supérieure loi dix-millièmes ; mais la compensation s'établit ainsi par rapport à a, et 3883,23 représente le produit demandé P à 0,01 près, par défaut ou par excès.

Si les deux facteurs donnés avaient été approchés par excès, a aurait désigné une erreur par excès, et il aurait fallu, au contraire, prendre P égal à 3883,22.

a* Calculer à moins deoA le produit

La partie entière de P ayant évidemment 6 chiflVes, on v<mt le résultat avec 7 chiffres exacts. Comme un seul des facteurs est approché, il faut

calculer ce facteur (331 ) avec 8 chiffres et prendre v/2 = i ,414^*1 35 par défaut. En désignant par a une quantité moindre que 0,1, on aura donc

En employant la multiplication abrégée, on trouve

L'erreur qu'entraîne l'opération abrégée est moindre que i5 millièmes, car les trois premiers produits partiels sont exacts ; par suite, le produit considéré est compris entre 877221 ,074 et 877221,089. Pour compenser l'erreur par défaut a, on doit prendre ce produit par excès et égal à 877221,1. Telle est la valeur de P à 0,1 près par défaut ou par excès.

338. I® Calculer f avec la plus grande approximation possible, le quo-

tient

4,7îï3

sachant que le dividende et le diviseur sont approchés l'un et l* autre à moins d'une unité de l'ordre de leur dernier chiffre, le premier par défaut, le second par excès.

ÀKITHMÉTIQUE. Q, I 5

ÂQCQn des deux nombres donnés ne commençant par i, et celui qui contient le moins de chififres exacts en contenant 4, on voit (333) qu'on peut compter au quotient sur 3 chiffres exacts; comme il a évidemment an seul chiffre à sa partie entière, on doit donc le calculer à o,oi près. D'ailleurs, le dividende étant donné par défaut et le diviseur par excès, ce quotient sera obtenu par défaut. En désignant par Q le quotient exact et par a une quantité moindre que o,oi, on aura

Si l'on emploie alors la méthode de la division abrégée (263), on devra prendre par excès le quotient correspondant, afin de compenser l'erreur par défaut a«

L'opération abrégée donnant pour quotient i,5o, à o,oi près par défatUy la valeur de Q sera i,5i à o,oi près, par défaut ou par excès.

On peut souvent savoir le sens de l'erreur du quotient fourni par la division abrégée. Ainsi, dans le calcul précédent, l'erreur par défaut de

ce quotient est représentée (263) par ô~7~fi' ®' son erreur par excès a

pour limite supérieure ? de sorte qu'il est bien obtenu par défaut.

Mais il peut arriver qu'on ne connaisse pas le sens de Terreur commise sur les deux nombres donnés. On ne sait pas alors si a est une erreur par défaut ou par excès; on ne peut donc pas décider entre la valeur par défaut et la valeur par excès du quotient fourni par la division abrégée. En prenant l'une d'elles, on peut seulement affirmer que l'erreur commise sur Q est moindre que 2 unités de Tordre du dernier chiffre conservé.

On se trouve encore dans le même cas lorsqu'on ne peut pas répondre du sens de Terreur commise dans la division abrégée.

a* Calculer^ avec \ 3 décimales exactes^ le quotient

TT

Le premier chiffre significatif du quotient représentant des cent-millièmes, et les chiffres significatifs d'un nombre décimal comptant seuls dans Tévaluation de Terreur relative, on voit qu'on demande 9 chiffres exacts au quotient cherché. Le dividende tt étant seul approché, on doit (334) le prendre avec 10 chiffres, par défaut, c'est-à-dire poser tt = 3, 141 592653. En effectuant alors la division abrégée, on obtient un quotient par excès 0,00004 8481 368 1 1 qui représente le quotient cherché à moins d'une unité du treizième ordre, par défaut ou par excès.

Si l'on avait voulu se servir, dans cet exemple, de la considération de Terreur absolue, on aurait désigné par s l'erreur absolue qu'on doit commettre sur le dividende tt pour que celle du quotient soit moindre que

Ï39 et Ton aurait posé (327)

fi ^ I ^ 64800