I® Calculer à moins d*une unité le produit

P = iooo7r(v/5 — 1) v/3.

La partie entière de ce produit ayant évidemment 4 chiffres, on veut le calculer avec quatre chiffres exacts. Il suffirait donc (329) de prendre chaque facteur avec 6 chiffres. Mais on peut aussi regarder P comme le

produit des deux facteurs iooo7r(v/5 — i) et v/3. Le dernier facteur commençant seul par 1 , on le prendra avec 6 chiffres, et le premier avec 5

seulement (330). Nous avons déjà trouvé (337, 1") iooott (v/5 — i) = 3883/2

par défaut; d'ailleurs, yf^ = i, 732o5 par défaut; on a donc

en désignant par a une quantité moindre que i. Il reste donc à calculer le produit 3883,2 x i,732o5, à l'unité près, par excès, en employant la multiplication abrégée. On trouve ainsi P = 6726 à moins d'une unité, par défaut ou par «excès,

2" Calculer, « 0,01 près de sa valeur^ le produit

P = (/FTh- 4) X (v/54 - 1) X (v/8 H- l).

On veut que l'erreur relative sur ce produit soit inférieure à — 2,

c'est-à-dire on veut Tobtenir avec 3 chiffres exacts. Comme le premier chiffre à gauche de chacun des facteurs donnés est au moins égal à 3, il suffit (336) de les prendre tous avec 4 chiffres exacts. Mais, si l'on veut appliquer le procédé de la multiplication abrégée, il convient de calculer d'abord le produit des deux premiers facteurs avec 5 chiffres exacts, pour être sûr d'avoir ce produit par défaut avec 4 chiffres exacts, ce qui conduit à calculer ces facteurs par défaut avec 6 chiffres exacts. On a ainsi

/nH-4 = 7,31662, v^54 —1 = 6,34846, v^-hi== 3,8a8.

AUITHMÉTIQUE. a I 7

Le produit des deux premiers facteurs contient a chiffres à sa partie entière. On doit chercher ce produit, par la multiplication abrégée, à 0,001 près par défaut. On trouve ainsi 46,449* Par conséquent, le produit des deux premiers facteurs est, par défaut, avec 4 chiffres exacts, 4^,44- En multipliant ce résultat par le troisième facteur, on voit que le produit définitif contiendra 3 chiffres à sa partie entière, et qu*on doit, par suite, Tobtenir à l'unité près. On a donc

en désignant par a une quantité moindre que i. Il reste à calculer le produit 46,44 X 3,828 à funité près par exc^, pour compenser l'erreur par défaut a. En employant la multiplication abrégée, on trouve P = 178, à moins d'une unité, par défaut ou par excès.

Pnissances et racines.

3iO. L'erreur absolue de la puissance /i^'"" d\in nombre approché a pour limite supérieure n fois le produit de la (n — i)"*' puissance du même nombre par son erreur absolue.

Uerreur relative de la n'^' puissance d'un nombre approché a pour limite supérieure n fois l'erreur relative de ce nombre.

Ces deux énoncés résultent immédiatement du théorème du n° 325, en supposant égaux entre eux tous les facteurs considérés.

a étant un nombre exact, ei a — a une valeur de ce nombre approchée par défaut, on aura donc, en désignant par e et par r l'erreur absolue et Terreur relative de (a — a)",

e < nn'-* oc et r << n - •

D'après ce qui précède (337, 33Î)), les calculs relatifs à Télévation aux puissances des nombres approchés ne présenteront aucune difficulté. Les seules applications usuelles concernent d'ailleurs les carrés et les cubes.

3il. Pour l'extraction des racines, c'est la considération de Terreur relative qui conduit aux règles les plus simples.

Remarquons qu'un nombre peut toujours être regardé, par définition {3ii))y comme la n'**"' puissance de sa racine n''"

21 8 AHITHVéTlQI^E.

H résulte alors du numéro précédent que Terreur relative commise sur ce nombre approché par défaut est moindre que n fois l'erreur relative de sa racine n'*"* el, par suite, que Terreur relative de la racine w'**' d'un nombre approché par défaut surpasse, à son tour, la /i'^"" partie de Terreur relative de ce nombre.

Mais> comme il ne s*agit, dans les cas ordinaires de la pratique, que de déterminer le rang du dernier chiffre sur lequel on peut compter au résultat, il est permis, en se plaçant à ce point de vue, d*adopter Ténoncé suivant :

L'erreur relative de la racine n'*"" d'un nombre approché est égale à la /i'*"" partie de l'erreur relative de ce nombre.

Les seules applications usuelles de cet énoncé concernent les racines carrée et cubique.

Règles pratiques pour Textraction de la racine carrée et de la racine cubique d'un nombre approché.

342. I. Pour obtenir la racine carrée d'un nombre avec m chiffres exacts, il suffit de connaître ce nombre avec m ou {m -h i) chiffres exacts, suivant que le chiffre de ses plus hautes unités est plus petit que 5 ou au moins égala 5.

En effet, Terreur relative de la racine carrée d'un nombre approché peut être, en général, regardée comme égale à la moitié de Terreur relative de ce nombre (341).

Par suite, si Terreur relative du nombre donné est moindre

que — ou que -z -— :? Terreur relative de sa racine car-

rée sera moindre que — -> et Ton pourra conserver comme

lO"

exacts les m premiers chiffres de cette racine.

Or, si le chiffre K des plus hautes unités du nombre proposé est plus petit que 5, et si Ton connaît dans ce nombre (/tH-i) chiffres exacts, son erreur relative, moindre que

=r— ^ — 9 ou que — =7—- — -—> sera, a fortiori, moindre que

■= — ^ Si K est égal à 5 ou plus grand que 5, et si Ton

connaît seulement m chiffres exacts dans le nombre proposé,

ARITHMÉTIQUE. Sl^

son erreur relative, moindre que vp - ~~> sera aussi moin-

^ il X 10**"*

dre que -•

343. Réciproquement, un nombre approché étant donné avec m chiffres exacts^ on peut calculer sa racine carrée avec (m — i) ou avec m chiffres exacts^ suivant que le chiffre de ses plus hautes unités est plus petit que 5 ou au moins égal à S.

En effet, K étant le chiffre des plus hautes unités du nombre proposé, son erreur relative est, d'après l'hypothèse, moindre

^^^ |7 ;s3[) P*** suite (341), Terreur relative de sa racine

carrée est moindre que -=7 ••

Si K est plus petit que 5, Terreur relative sur la racine carrée cherchée est donc moindre que -? et Ton peut

compter sur ses (m — i) premiers chiffres. Si K est égal à 5 ou plus grand que 5, l'erreur relative sur cette racine carrée est moindre que — -j et l'on peut conserver comme exacts ses m premiers chiffres.

344. Les deux théorèmes précédents (342, 343) s'appliquent à la racine cubique, en remplaçant par 4 le chiffre 5 qui figure dans leurs énoncés.

345. Il est essentiel de remarquer combien les résultats qu'on vient d'obtenir simplifient les règles données aux n** 287, 288, 308 309, pour l'évaluation en décimales de la racine carrée ou cubique d'un nombre quelconque.

Applications.