RAPPORTS ET PROPORTIONS

Propriétés des rapports.

379. On nomme rapport de deux grandeurs de même espèce le nombre qui mesure la première quand on prend la seconde pour unité (3).

380. 1. Le rapport de deux grandeurs de même espèce est le nombre par lequel il faut multiplier la seconde pour obtenir la première,

1° Supposons le rapport donné commensurable el égal à

■=' La première grandeur étant représentée par ■= quand la se-

conde est l'unité choisie, la première grandeur est les t de

la seconde, c'est-à-dire qu'il faut multiplier la seconde gran-

deur par ■= pour obtenir la première.

2® Si le rapport donné est un nombre incommensurable r, ce rapport tombe entre deux nombres commensurables tels

k k -h i que et (311 ). Par conséquent, si A et B sont les grandeurs considérées, on a nécessairement (i*)

Bi<A<B^'-^-'., n n

c'est-à-dire que, si l'on prend B pour unité, les deux grandeurs commensuriables représentées par - et comprennent entre elles la grandeur A. Pour obtenir A, il faut donc multiplier B par un nombre m compris entre - et — -•

▲KITHMÊTXQUE. ^^J

Or il ne peut y avoir aucune différence assignable entre ce nombre m et le rapport donné r, puisqu'on peut rapprocher autant qu'on veut leurs limiies communes en prenant n assez grand.

381. II. Le rapport de deux grandeurs de même espèce est égal au quotient des nombres qui les mesurent^ l'unité choisie restant la même.

En effet, si les rapports des grandeurs A et B à la grandeur C prise pour unité sont représentés par les nombres a et b, on a (380)

d'où Ton déduit immédiatement

Le quotient r exprime donc le rapport des deux grandeurs

AeiB.

C'est ainsi qu'on est conduit à appeler rapport de deux nombres a et 6 le quotient de leur division. Par exemple,

le rapport du nombre j au nombre - est 79 le premier

nombre y est le numérateur du rapport, le deuxième nombre

- en est le dénominateur. Ces dénominations sont natu-

relies: on a vu effectivement (212) que les 'fractions ordinaires à termes entiers ne sont autre chose que des quotients ou des rapports.

382. Deux rapports sont inverses l'un de l'autre lorsque le numérateur de .l'un est égal au dénominateur de l'autre, et

réciproquement. Ainsi r et - sont des rapports inverses.

383. Les règles du calcul des fractions à termes entiers sont applicables aux rapports ou fractions générales ^9 dans les-

quelles les termes aei h peuvent être eux-mêmes des nombres fractionnaires ou incommensurables.

384-. III. Un rapport ne change pas de valeur quand on multiplie ou quand on divise ses deux termes par un même nombre.

Soit le rapport T' Si nous désignons par q le quotient des deux termes, nous aurons

--=rj et a = bq.

Multiplions par un même nombre m les deux membres de cette égalité; il vient

am = bmq

et, par suite,

am a

bm~~^ •^ y

On voit, par ce qu'on vitint de démontrer, que l'on peut réduire plusieurs rapports au même dénominateur en suivant la règle établie pour les fractions ordinaires à termes entiers. On voit aussi qu'on peut appliquer aux rapports les règles de l'addition et de la soustraction des fractions.

385. IV. Pour multiplier deux rapports l'un par Vautre^ il suffit de les multiplier terme à terme.

Soient les deux rapports r el t?* Si nous désignons par q

et q' les quotients correspondants, nous aurons

a = bq et a' = b'q\

Si nous multiplions membre à membre ces deux égalités, il vient

aa' — 66' qq',

et, par suite,

aa' a a'

bb'

n' = i:^Tr

On étend facilement la même règle au cas d'un nombre quelconque de rapports.

ARITHMÉTIQUE. 2^\y

On voit que deux rapports inverses (382) ont pour produit i unité.

D'après ce qu'on vient de démontrer et d'après la définilion de la division, il est évident que, pour diviser un rapport par un autre ^ il suffit de multiplier le rapport dividende par l'inverse du rapport diviseur, ou encore de diviser les deux rapports terme à terme (214, 215).

380. V. Lorsqu'on a une suite de rapports égaux, la somme de leurs numérateurs divisée par la somme de leurs dénominateurs forme un rapport égal à chacun des rapports proposés»

Soit la suite

Si nous désignons par q le quotient conomun, nous aurons

az=bq, a' = b'q^ a^' — b^q,

c'est-à-dire, en ajoutant toutes ces égalités membre à membre,

a -4- a' + a" == (6 -I- é' 4- b'')q; on en déduit

On démontre de même que, si Von a deux rapports égaux, la différence de leurs numérateurs divisée par la différence de leurs dénominateurs forme un rapport égal à chacun des rapports proposés.

Tiiéorie des proportions.