On appelle proportion l'égalité de deux rapports

a c Si les deux rapports t el - sont égaux, ils forment la pro-

ponion

On écrit aussi une proportion en remplaçant chaque barre de

aSo ARITHMÉTivci!..

fraction par ie signe : . On a alors

Il résulle du théorème du n* 381 que, lorsque quairt grandeurs forment proportion^ il en est de même des nombres qui les représentent.

On peut donc toujours supposer évaluées en nombres les grandeurs qui forment les proportions considérées dans les différentes parties des Mathématiques.

Dans la proportion -r=^o\ia:bz=c:d,\es numérateurs

des deux rapports prennent le nom d'antécédentSj les dénominateurs prennent le nom de conséquents. Les termes a et d sontlesdeux extrêmes, les termes 6 et c sont les deux moj^n*. On énonce souvent une proportion, surtout en Géométrie, en disant : a est à b comme c est à d.

388. I. Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

Soit La proportion

Réduisons les deux rapports au même dénominateur, il viendra

flXrf cX b bxd ~' d^b

Ces deux rapports étant égaux et ayant même dénominateur, leurs numérateurs sont égaux, et Ton a

/i X rf = A X c.

389. II. ^écXi^Toq^wernenu si quatre nombres sont tels, que le produit des extrêmes soit égal à celui des moyens, ces quatre nombres forment proportion dans l 'ordre même où ils sont écrits.

En effet, si Ton a légalité

a Xd z= bxc, on peut en diviser les deux membres par le produit dxb.

ARITHMÉTIQUE. sSl

Il vient

c'esl-à-dire, en simpHnani,

390. Étant donnés trois termes d'une proportion, on- peut^ d'après cela, déterminer facilement le quatrième.

Si c*est un extrême qui est inconnu, il faut diviser le produit des moyens par l'extrême connu. Si c*est un moyen qui est inconnu, il faut diviser le produit des extrêmes par le moyen connu.

Comme la condition pour qu'il y ait proportion est que le produit des extrêmes soit égal au produit des moyens, on peut faire subir à une proportion, sans qu'il cesse d'y avoir proportion, les changements suivants :

I" On peut échanger les moyens entre eux. De la proportion

a'.b=:c\dj

on déduit alors

« : c ::= 6 : rf .

a*» On peut échanger les extrêmes. Si l'on fait subir cette transformation aux deux proportions précédentes, il vient

rf : 6 = c : û, rf: c =6 :«.

3** On peut changer les moyens de place avec les extrêmes. Si Ton fait subir cette transformation aux quatre proportions déjà obtenues, on trouve

c :« = rf:é, 6 : f/ =z a : c, c id=:a\b.

£n tout, trois changements donnant lieu à huit proportions.

On peut de même multiplier ou diviser par un même nombre les deux termes du premier ou du second rapport, multiplier ou diviser par un même nombre les deux antécédents ou les deux conséquents.

391 . III . Lorsque deux proportions ont un rapport commun^ les deux autres rapports forment proportion. Si Ton a

on en déduit

Il résulte de ce que nous venons de dire que, lorsque deux proportions ont les mêmes antécédents ou les mêmes conséquents, leurs conséquents ou leurs antécédents forment proportion.

Soient les proportions

6 ■" rf' e ~"/'

Changeons les moyens de place dans ces deux proportions; elles deviennent

et l'on en déduit

392. IV. Dans toute proportion, la somme ou la différence des antécédents est à la somme ou à la différence des conséquents comme un antécédent est à son conséquent.

a c De la proportion rr = ^9 on tire immédiatement (386)

arnc a

b±d b En séparant les signes, on a à la fois

rt-+-c a a ^ c a

b-hd 0 b—d b

AlUTHMÉTIQUE. 253

On en déduit

OU, en échangeant les moyens,

a — c b — ûf'

ce qu'on énonce en disant que, dans toute proportion, la somme des antécédents est à leur différence comme la somme des conséquents est à leur différence,