V. Dans toute proportion, la somme ou la différence

des deux premiers termes est à la somme ou à la différence des

deux derniers comme le premier terme est au troisième ou le

second au quatrième.

a c Dans la proportion r = -j9 changeons les moyens de place;

nous aurons ~ = -7 • Appliquons le théorème précédent (392)

à celte dernière proportion; il vient

czhd c rf*

En séparant les signes, on a à la fois

On en déduit

ou.

en

échangeant

les

moyens,

ce qu'on énonce en disant que, dans toute proportion, la somme des deux premiers termes est à leur différence comme la somme des deux derniers termes est à leur différence.

394. VI. En multipliant plusieurs proportions terme à terme, on obtient une proportion.

254 ABITHMÉTIQUE.

Soient les proportions

Multiplions membre à membre ces trois égalités. On trouve

c'est*à-dire, en suivant la règle de multiplication des rapports (385),

a(^r" cc'c"

bb'b" dd'd"

305, VII. Si l'on divise deux proportions terme à terme, les quotients obtenus forment proportion.

Soient les proportions

Divisons membre à membre ces deux égalités; nous aurons

an' c ^ &

c'est-à-dire, en suivant la seconde règle de division des rapports (385),

396. VUI. Lfs puissances ou les racines de même degré des quatre termes d'une proportion forment proportion.

De l'égalité^ = ^ on tire évidemment

(:)"=fâ" -<»») °5-:=i

On en déduit aussi

ma "'/c \/a dc

ABITHMÉTIQUE. a55

En effel, la puissance m"** de ~r= est égale à j-y comme celle

de ty ^ (385, 77); les deux égalités considérées sont donc bien identiques.

De la moyenne proportionnelle.

397. Déterminer la moyenne proportionnelle ou géométrique de deux grandeurs ou de deux nombres, c'est former une proportion qui ait pour extrêmes les grandeurs ou les nombres donnés et dont les moyens soient égaux.

Soient, par exemple, a et 6 les nombres donnés et x la moyenne proportionnelle cherchée. On doit avoir

d'où (388)

x^ = ab et x^=\Jab.

La moyenne proportionnelle de deux nombres est donc égale à la racine carrée de leur produit,

X tombe nécessairement entre les nombres donnés a et 6, d'où le terme de moyenne employé (198).

398. La considération des moyennes est d*un usage trèsfréquent dans la Statistique et dans toutes les sciences d'observation. Nous avons donné précédemment (198) la définilion de la moyenne arithmétique.

Des expériences successives fournissent, en général, pour lout nombre qu'on veut calculer expérimentalement, des va-' leurs un peu différentes. On prend alors, pour valeur de ce nombre, la moyenne arithmétique des résultats obtenus. C'est adn)ettre que les erreurs commises par les observateurs se compensent sensiblement. Nous croyons qu'il faut se défier de cette manière d'opérer. Il est beaucoup plus prudent de ne conserver, dans la valeur du nombre cherché, que les chiffres communs à toutes les expériences regardées comme les meilleures.

399. La moyenne arithmétique de deux nombres est plus grande que leur moyenne géométrique»

256 ahithmétique.

Mn désignani par a el b {a'^ b) les deux nombres donnés,

il faut comparer ''-^-~ (198) el M (397). Or, on a (397, 386)

a \lab a — ^ah sjôb" b~ ~ ~J^Zl'

Comme le premier rapport est supérieur à Tunité, on a aussi

a — \Jab ^ sfâb — b ;

c'est-à-dire, en ajoutant b + >fâb aux deux membres de celle inégalité et en les divisant ensuite par 2,

r > \Jab.

aeithmétiqi;e« a57