PROPORTIONNELLES
Grandenrs proportionnelles.
400. Lorsque deux grandeurs varient ensemble y de manière que le rapport de deux valeurs quelconques de la première grandeur soit égal au rapport des deux valeurs correspond dan tes de la seconde grandeur, on dit que ces grandeurs sont proportionnelles.
Ainsi, il est de ronveniion que le salaire d'un ouvrier est proportionnel à la durée de son travail.
On démontre en Mécanique que l'espace parcouru par un corps doué d*un mouvement uniforme est proportionnel au lemps pcoulé.
La Géométrie prouve que la longueur d'une circonférence de cercle est proportionnelle à celle de son rayon.
Dans les exemples précédents, comme dans tous ceux qu'on peut citer, on admet la proportionnalité des grandeurs considérées comme un fait qui est connu ou qui résulte d'une convention. La démonstration de cette proportionnalité n'est pas du ressort de l'Arithmétique; elle appartient, dans chaque cas, à la science qui traite des grandeurs que Ton consirlère. On peut, cependant, s^assurer souvent de la proportionnalité de deux grandeurs à l'aide de la proposition que nous allons dé* ^ciopper.
iOl. Soient deux grandeurs A et B (de même espèce ou d'espèce différente) qui sont supposées proportionnelles. Soient A| et A, deux états ou deux valeurs quelconques de la première grandeur, B| et B, les valeurs correspondantes de la
De C. — Cours. I. ^7
seconde grandeur. On a, par hypothèse (400),
A2 Bj
Si nous désignons par q le quotient commun, on peut écrire
Aa= A, g,
Donc, lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, en multipliant par un même nombre quelconque deux valeurs correspondantes de ces grandeurs, on obtient deux nouvelles valeurs correspondantes.
Réciproquement, si cette condition est remplie, les deux grandeurs considérées sont proportionnelles; car on déduit alors immédiatement des égalités précédentes
Aï Bj
On obtient ainsi ce théorème :
Deux grandeurs sont proportionnelles si elles sont liées l'une à l'autre de manière que, une valeur quelconque de l'une étant multipliée par un nombre quelconque, la valeur correspondante de l'autre soit nécessairement multipliée par le même nombre.
De plus, il suffit (ce qui simplifie beaucoup l'application de
ce théorème) que la condition indiquée soit remplie lorsqu* on
choisit pour multiplicateur un nombre entier, pour qu'elle le
soit forcément quand ce multiplicateur déifient un nombre
fractionnaire ou incommensurable.
En effet, soient A, et Bi deux valeurs correspondantes des grandeurs considérées A et B. Si Ton multiplie Ai par la frac-
tion -> on obtient la grandeur — • En multipliant celle dernière grandeur par rentier 71, on revient à la grandeur A|. 11 faut donc, d'après l'hypothèse, que la valeur de B qui corres-
pond à — ^ soit telle, qu'en la multipliant par n on retrouve la grandeur Bi qui correspond à Ai; cette valeur correspondante
est donc — • n
Prenons maintenant pour multiplicateur le nombre fractionnaire — • On commencera par multiplier les deux grandeurs
correspondantes Ai et Bi par - y et Ton obtiendra deux valeurs
correspondantes — et --> qui, multipliées à leur tour par
l'entier m, donneront encore deux valeurs correspondantes
mAi mB,
et
Supposons enfin que le multiplicateur soit un nombre incommensurable r. Ce nombre (311) tombera entre deuxnom-
If A* -4- I bres commensurables - et - -Si Ton part des grandeurs
correspondantes A, et B,, les grandeurs - A, et A» cor-
if If j I respondront aux grandeurs - B, et B,, d'après Talinéa
précédent; parsuite, la grandeur rA, comprise entre les deux premières correspondra à la grandeur rBi comprise entre les deux autres» puisqu'en prenant n assez grand, les deux limites des grandeurs rA, et rBi diffèrent aussi peu qu'on veut, tout en continuant de se correspondre.
402. Rapportons à une certaine unité de même espèce chacune des grandeurs proportionnelles A et B, et représentons par a., a^j bi, b, les nombres qui mesurent les valeurs particulières A,y As, B„ Ba. Nous aurons alors (381, 387)
^3 bi
En échangeant les moyens, cette proportion numérique devient
Les valeurs considérées étant quelconques, on peut donc dire que, lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, le rapport de leurs valeurs correspondantes est constant.
Ainsi, en désignant par a et 6 deux valeurs quelconques, mais correspondantes, des grandeurs considérées, on voit que
26o ARITHMÉTIQUE.
les grandeurs proporlionnelles sont caractérisées par la formule générale
Y = consl.
Si l'expérience donne deux valeurs particulières des grandeurs proposées, la constante, égale à leur quotient, se trouve déterminée, et l'on connaît la relation numérique qui lie les deux grandeurs. // est utile de remarquer que cette constante est la valeur numérique de a lorsque h devient égal à i.
Grandeurs inversement proportionnelles.
403. Lorsque deux grandeurs varient ensemble de manière que le rapport de deux valeurs quelconques de la première grandeur soit égal au rapport inverse des deux valeurs correspondantes de la seconde grandeur, on dit que ces grandeurs sont inversement proportionnelles.
Ainsi, dans certaines limites, on peut admettre que le temps nécessaire pour Tachèvement d'un travail donné est inversement proportionnel au nombre des ouvriers employés.
On démontre en Mécanique que le temps employé par un corps, doué d'un mouvement uniforme, à parcourir un certain espace, est inversement proportionnel à la vitesse constante du mouvement.
La Physique prouve que les hauteurs de deux liquides différents se faisant équilibre dans les deux branches d'un vase communiquant sont inversement proportionnelles aux poids spécifiques de ces liquides.
On peut souvent s'assurer que deux grandeurs sont inversement proportionnelles à l'aide de la proposition suivante.
404. Soient deux grandeurs A et B (de même espèce ou d'espèce différente) qui sont supposées inversement proportionnelles. Soient A, et A, deux* états ou deux valeurs quelconques de la première grandeur, B, et Bj les valeurs correspondantes de la seconde grandeur. On a, par hypothèse (403),
A.RITHMÉTIQUE. 26 1
Si nous désignons par q le quotient commun, on peut écrire
A, = Ai7, Bj = B| - •
Donc, lorsque deux grandeurs sont inversement proportionnelles, en multipliant et en divisant respectivement par un même nombre quelconque deux valeurs correspondantes de ces grandeurs, on obtient deux nouvelles valeurs correspondantes.
Réciproquement, si cette condition est remplie, les deux grandeurs considérées sont inversement proportionnelles; car ou déduit alors immédiatement des égalités précédentes
On obtient ainsi ce théorème :
Deux grandeurs sont inversement proportionnelles si elles sont liées l'une à l'autre de manière que, une valeur quelconque de Vune étant multipliée par un nombre quelconque, la valeur correspondante de l'autre soit nécessairement divisée par le même nombre.
De \i\\xSy il suffît (ce qui simplifie beaucoup l'application de ce théorème) que la condition indiquée soit remplie lorsqu'on emploie comme multiplicateur et diviseur un nombre entier^ pour qu'elle le soit forcément quand ce nombre entier est remplacé par un nombre fractionnaire ou incommensurable.
C'est ce qu'on ôtablit facilement en imitant les raisonnements faits au n"" &01.
En elTet, soient A, et B, deux valeurs corresponffantes des grandeurs considérées A et B. Si l'on multiplie Ai par la fraclion - on obtient la grandeur --• En multipliant cette dern n
nière grandeur par l'entier n, on revient à la grandeur Af II faut donc, d'après l'hypothèse, que la valeur de B qui corres-
Al pond à — soit telle, qu'en la divisant par n on retrouve la
grandeur B, qui correspond à Ai; cette valeur correspondante est donc nB,.
Prenons maintenant le nombre fractionnaire — Si Ton divise
A, par /i, on muliplie B, par n d'après l'alinéa précédent, et
Ton obtient les deux valeurs correspondantes — et nB,. Si
Ton multiplie alors la première par l'entier /w, il faut diviser la seconde par m, de sorte que les deux nouvelles valeurs cor-
, mA, /iB,
respondantes sont et
Supposons enfin que Ton multiplie Ai par le nombre incommensurable r. Ce nombre tombe entre deux nombres commen-
surables - et ^ D'après ce qui précède, les grandeurs
/f . A* -I- 1 . . , B, B, r* -A, et - - A, correspondront aux grandeurs -7- et 7 Par
suite, la grandeur rA, comprise entre les deux premières cor-
respondra à la grandeur ~ comprise entre les deux autres,
puisque, pour n assez grand, les deux limites des grandeurs
/'Ai et — diffèrent aussi peu qu'on veut, tout en ne cessant pas
de se correspondre.
405. Si nous représentons par «i, a», 6,, 6, les nombres qui mesurent les valeurs particulières A,, A„ B,, B„ lorsqu'on rapporte à une certaine unité chacune des grandeurs inversement proportionnelles A et B, nous aurons
/Zi6,.
ou (388)
Les valeurs considérées étant quelconques, on peut donc din que, lorsque deux grandeurs sont inversement proportion nelles, le produit de leurs valeurs correspondantes psl constant. Ainsi, en désignant par a et 6 deux valeurs quelconques, mais correspondantes, des grandeurs considérées, on voit que les grandeurs inversement proportionnelles sont caractérisées par la formule générale
ab = consi.
Si Texpérience donne deux valeurs particulières des grandeurs proposées, la constante, égale à leur produit, se trouve déterminée, et Ton connaît la relation numérique qui lie les deux grandeurs. // est utile de remarquer que cette constante est la valeur numérique de a lorsque b déifient égala i.
Cas où l'on a à considérer pins de denx grandeurs.
406. 11 est rare qu'une grandeur dépende exclusivement d'une autre grandeur; plusieurs éléments concourent le plus souvent à déterminer sa valeur : par exemple, le poids d'une barre de métal dépend à la fois de sa longueur, de sa largeur, de son épaisseur et du poids spécifique du métal.
Lorsqu'une grandeur dépend ainsi de plusieurs autres, si l'on dit qu'elle est proportionnelle ou inversemenl proporlionnelle à l'une des grandeurs dont elle dépend, on sousenlend que les aulies éléments qui la déterminent sont alors regardés comme invariables. Par exemple, si l'on dit: le poids d'une barre métallique est proportionnel au poids spécifique du métal, on sous-entcnd que les dimensions de la barre sont considérées comme invariables.
Des questions qui se rapportent aux grandeurs proportionnelles
ou inversement proportionnelles.
407. Les questions dont nous allons nous occuper peuvent être énoncées généralement de la manière suivante :
1® Connaissant deux valeurs simultanées de deux grandeurs proportionnelles ou inversement proportionnelles, trouver la valeur de la première grandeur qui correspond à une nouvelle valeur donnée de la seconde.
2® Connaissant des valeurs simultanées d'un nombre quelconque de grandeurs proportionnelles ou inversement proportionnelles à l'une d'entre elles, trouver la valeur que prend celle-ci quand on donne de nouvelles valeurs à toutes les autres grandeurs. ^
Fègles de trois simples.
408. La question (i«) du n*» 407 est le type général des règles de trois simples : la règle de trois est directe quaiid les
grandeurs qui entrent dans renoncé sont proportionnelles; elle est inverse quand ces grandeurs sont inversement proportionnelles.
Soient A ^f 6 deux grandeurs proportionnelles. On connaît deux valeurs correspondantes Ux et 6, de ces deux grandeurs^ et l'on demande de calculer la valeur x de h qui correspond à une seconde valeur a^ de A.
On a, par hypothèse (400),
X Ui
6, Ux d'où
X=ÙiX^ —'
Ainsi , dans le cas d'une règle de trois simple et directe ^ l'inconnue x s'obtient en multipliant la valeur connue de même espèce que x par le rapport direct de la nouvelle valeur de l'autre grandeur à sa valeur primitive.
Soient AetH deux grandeurs inversement proportionnelles. On connaît deux valeurs correspondantes Ux et bx de ces deux grandeurs f et l'on demande de calculer la valeur x deB qui correspond à une seconde valeur a^ de A.
On a, par hypothèse (403),
d'où
X at
bx ~~ Ui
Ainsi, dans le cas d'une règle de trois simple et inverse, l'inconnue x s'obtient en multipliant la valeur connue de même espèce que x par le rapport inverse de celui de la notA^ velle valeur de l'autre grandeur à sa valeur primitive.
Règles de. trois composées.
409. La question (2'») du n® 407 est le type général des règles de trois composées.
Soient M, A, B, P, Q les grandeurs considérées : M est proportionnelle à k et à là et inversement proportionnelle à
fet àQ (406). On connaît une série m„ a,, 6|, p,, qfi ^e v/ileurs correspondantes de ces grandeurs^ et l*on demande de calculer la valeur x deM qui correspond à une nouvelle série de valeurs «„ 6„ />„ Çt des autres grandeurs.
Si Ton considère seulement M el A et si l'on suppose (406) que les autres grandeurs conservent les valeurs 6i, /?i, g„ on voit que, A passant de la valeur «, à la valeur a„ M passera de la valeur ntt à une valeur X, qui satisfera (408) à la relation
Xz=z nti — •
Si Ton considère maintenant M et B, les autres grandeurs conservant les valeurs ûr„ /?,, ç„ et B passant de la valeur*, à la valeur fc», M passera de la valeur X à une valeur X', qui satisfera de même (408 ) à la relation
Comparons M et P. Les autres grandeurs conservant les valeurs a„ 6a, gi, si P passe de la valeur/?, à la valeur pi, M passera de la valeur X' à une valeur X'' déterminée (408) par la relation
X"rnX'^.
Enfin, si Ton considère M et Q, et si les autres grandeurs conservent les valeurs a„ 6a,'/>i, on voit que, Q passant de lu valeur Çi à la valeur gs, M passe de la valeur X'^ à la valeur <!emandée x, qui correspond à la série a„ 6„ pi, g 2. Cette valeur de X satisfait d'ailleurs (408) à la relation
ar = X"ii.
Pour faire disparaître les inconnues auxiliaires, il sufûl de multiplier membre à membre toutes les égalités précédentes. En supprimant dans les deux membres de l'égalité résultante le facteur commun XX' X", on trouve
^2 l>2 p, Çt
d7 = m, — T- -- -• «i Ot Pi q^
266 AHITIIMÉTIQUE.
Ainsi, dans le cas d'une règle de trois composée, Vincon^ nue X s'obtient en multipliant la valeur connue de même espèce que x par les rapports directs des nouvelles valeurs aux valeurs primitives pour les grandeurs proportionnelles à la grandeur de même espèce que rinconnue, et par les rapports inverses de ceux des nouvelles valeurs aux valeurs primitives pour les grandeurs inversement proportionnelles à cette même grandeur.
On voit que ce résulial général concorde avec les résultais particuliers énoncés au n*» 408.
kiO. Désignons par k la valeur que prend M quand les autres grandeurs A, B, P, Q deviennent toutes égales à Tunité. La formule précédente devient, dans cette hypothèse, en remplaçant m, par k et a,, 6i, p,, g, par Funité,
, Uibi
et elle s'applique à une série quelconque de valeurs correspondantes des grandeurs considérées. On en déduit
Xfhq:
(12 bn
L'expérience ayant déterminé une série de valeurs particulières correspondantes des grandeurs proposées, on en déduira donc le coefficient constant /r, et l'on connaîtra la relation numérique qui existe entre les grandeurs données.
411. S'il n'entre dans la question que des grandeurs proportionnelles entre elles, on a évidemment
kz= — --, a-iO^
c'est-à-dire (402 que, lorsqu'une grandeur est proportionnelle à plusieurs autres grandeurs, elle est aussi proportionnelle à leur produit.
De même, s'il n'entre dans la question que des grandeurs inversement proportionnelles entre elles, on a
k=z X p^qi,
c'est-à-dire (405) que, lorsqu'une grandeur est inversement proportionnelle à plusieurs autres grandeurs, elle est aussi inversement proportionnelle à leur produit.
Méthode de réduction à Tonité.
112. Au point de vue éiémentaire, on fait souvent usage, pour résoudre les questions précédentes, de la méthode dite de réduction à Vunité, Elle consiste à chercher, dans le cas (les règles de trois simples, la valeur de la grandeur de même espèce que Tinconnue qui correspond à une valeur de l'autre grandeur égale à i, et, dans le cas des règles de trois composées, la valeur de la grandeur de même espèce que Tinconnae qui correspond à des valeurs des autres grandeurs toutes égales à I. On en déduit ensuite facilement l'inconnue ellemême. Cette méthode revient donc, en réalité, à déterminer h constante (402, 405, 410) a Taide de laquelle on peut établir la relation générale qui lie les grandeurs considérées. Il suffira de l'expliquer sur quelques exemples.
413. I. Une usine a consommé 17000 kilogrammes de charbon pour produire 6285 kilogrammes de fonte; quelle quan^ tité de charbon faudrait-il brûler pour produire 1 181 2 kilogrammes de fonte?
Si nous admettons la proportionnalité des grandeurs qui entrent dans la question, nous pourrons la résoudre en raisonnant de la manière suivante.
Puisque 6286 kilogrammes de fonte correspondent à 17000 kilogrammes de charbon, i kilogramme de fonte correspondra à —^ '— de charbon; par conséquent, ii8i2kilo-
grammes de fonte correspondront a ' ^ x 11012 ou a
31949 kilogrammes de charbon : .c'est le résultat demandé.
La règle du n® 408 aurait donné immédiatement, pour la valeur de l'inconnue,
X = 17000 X -r~ùir'
414. II. Les journées de travail étant de 1 1 heures, il a fallu 1 5 jours à 22 ouvriers pour exécuter un certain ouvrage; quel temps faudrait-il à 87 ouvriers pour achever le même ouvrage ?
Si nous admettons que les grandeurs qui entrent dans la question sont inversement proportionnelles, nous dirons :
Puisque 0.2, ouvriers ont dû travailler i5 jours, i ouvrier
travaillera i5x 22 jours; par conséquent, 87 ouvriers achè-
1 5 X 22 veront l'ouvrage proposé en — ^ jours, c'est-à-dire en
8 jours, 10 heures, 6 minutes, à une demi-minute près.
La règle du n*>408 aurait donné immédiatement, pour la valeur de Tinconnue,
415. III. // a fallu 12 jours à 17 ouvriers pour élever un mur ayant 22 mètres de longueur ^ 3™, 25 de hauteur et o",8o d'épaisseur; combien 25 ouvriers mettront-ils de temps à construire un mur ayant Zï mètres de longueur^ 2™,5o de hauteur et o"*,5o d^ épaisseur?
Si nous admettons que le temps nécessaire à la construction du mur est proportionnel à chacune des dimensions de ce mur et inversement proportionnel au nombre des ouvriers employés, nous dirons :
17 ouvriers travaillant 12 jours pour élever un mur de
22 mètres de longueur, de 3™,25 de hauteur et de o™,8o
1 2 d'épaisseur, il leur faudra — de jour pour élever un mur de
même hauteur et de même épaisseur, mais n'ayant que
I mètre de longueur. Si la hauteur du mur s'abaisse aussi à
l'unité, le temps nécessaire deviendra égal à rr — ; et,
' ^ ^ 22 Xi, 2^'
si l'épaisseur de ce mur est de 1 mètre au lieu de o"-,tJo, il
faudra prendre les y du nombre précédent, ce qui donnera
'\'-=^ ZT' Enfin, si l'on a un seul ouvrier au lieu de
17, le temps demandé sera 17 fois plus considôrable ou égala
— 'j—-k — û~" 'ï'elle est la réponse pour un mur doni
toutes les dimensions seraient égales à i mètre et qui serait exécuté par un seul ouvrier. Une fois ce résultat obtenu, on voit qu'il doit être multiplié par 3i, par 2,5o et par o,5o, si le mur considéré, au lieu d'avoir 1 mètre dans tous les sens, a 3i mètres de longueur, 2"»,5o de hauteur et o™,5o d'épaisseur; et que ce même résultat doit être concurremment di-
ARITHMÉTIQUE. '^(ig
visé par ^5, si l'on emploie 25 ouvriers au lieu d'un seul. Le nombre de jours cherché a donc pour expression
à une demi-minute près, en supposant les journées de travail ' de II heures.
La règle du n"" &09 aurait donné îmmédiatemeni, pour la valeur de l'inconnue,
Si 2,5o o,5o in 22 3,20 0^00 25
ajO ARITHMÉTIQUE.
