PROBLÈMES ET APPLICATIONS
Règles d'intérêt simple.
4i6. Une somme d'argeni quelconque s'appelle capital. Lorsqu'on emprunte un capilal, on indemnise le prêteur en lui payant tous les ans un certain intérêt. Pour fixer cet intérêt, on indique ce que rapporte le capital cent francs y placé pendant un an dans les mêmes conditions que le capital considéré : c'est ce qu'on nomme le taux de l'intérêt. Si le taux adopté est, par exemple, égal à 5, on dit que le capital est placé à & pour loo.
L'intérêt est simple lorsqu'il est proportionnel au capital prêté et à la durée du placement. Chercher l'intérêt simple d'un capital, c'est donc résoudre une règle de trois composée (409).
417. Désignons pari l'intérêt rapporté par le capital C placé pendant A années; désignons en même temps par /le taux de l'intérêt.
L'intérêt I, étant proportionnel au capital C et au temps A (416), sera proportionnel au produit de ces deux quantités (411 ); on peut donc poser
I^rfr.CA.
La constante k est l'intérêt rapporté par i franc placé pendant I an, c'est-à-dire — • En effet, si loo francs rapportent
t francs en i an, i franc rapportera loo fois moins dans le même temps. On a donc
lOO
ARITHMÉTIQUE. ajl
Celle égalité est ce qu'on appelle en Algèbre une formule; elle présente le tableau des opérations à effectuer sur les quantités données pour en déduire la valeur de la quantité inconnue.
Si Ton demande, par exemple, l'intérêt produit par un capital de i5825 francs, placé à 5 pour loo, pendant i an, il suflii de faire, dans Tégalité (i),
et Ton obtient
lOO '^
On voit que, dans les cas analogues, la règle pratique est de multiplier fiar le taux le centième du capital,
La formule (i) renferme quatre quantités I, C, t. A; elle permet de déterminer Tune quelconque de ces quantités, les trois autres étant données. On en déduit, en effet,
^ lool looï lool
418. L'usage commercial est de compter tous les mois de 3o jours et Tannée de 36o jours. Si l'on admet cette simplification et si l'on prend le mois pour unité de temps, il faut,
dans la formule (i), remplacer A par — > en représentant par
m l'expression en mois de la durée du placement. On a ainsi
De même, si l'on prend le jour pour unité de temps, il faut remplacer A par ^^ dans la formule (i), en représentant par j l'expression en jours de la durée du placement, ou remplacer m par ^dans la formule (2). On a ainsi
(3) i^-^lL.
36ooo
On peut écrire la formule (3), qui est la plus employée dans
a^a AKITHMÉTIQUE.
les applications, de la manière suivante :
3booo
Le dénominaleur — - — est alors ce qu'on nomme le divisew. Voici ses valeurs pour les taux les plus usuels :
Taux. Diviseur.
Dans les cas correspondanls, on peut donc énoncer celle règle pratique : Multiplier /e capital par ie nombre de jours et diviser le produit trouvé par le diviseur.
On a, par exemple, pour riniérêt 1 rapporté par le capital 6540 francs placé à 4 pour 100 pendant 95 jours,
(>5 îo X (>5 r fr o
419. Au point de vue légal, cette réduction de l'année à 36o jours n*est point admise. Toutes les fois qu'il s'agit d'une opération judiciaire, on doit donc calculer l'intérêt sur le pied de 365 jours par an. On fait alors usage de la formule (3), en substituant le dénominateur réel 365oo au dénominateur simplifié 36000. Les résultats obtenus par l'une ou l'autre voie diffèrent d'ailleurs toujours très-peu. En reprenant l'exemple du numéro précédent, on trouve pour l'intérêt rigoureusemeni exact
365oo
au lieu de 69^^,03.
Il faut remarquer que lorsqu'on évalue, au point de vue des intérêts, le nombre de jours compris entre deux dates, il est de règle de compter le jour qui sert de point de départ, sans compter celui de l'échéance.
ARITHMÉTIQUE. 2j3
420. Autrefois, pour fixer le taux de l'intérêt, on indiquait le capital qui, dans les circonslances considérées, produisait I franc dMntérêl. Ce capital était appelé denier. Ainsi, lorsqu'on parlait d'une somme placée au denier 20, par exemple, cela voulait dire que 20 francs rapportaient i franc. Le denier 20 répondait donc au taux de 5 pour 100.
421. On peut avoir à traiter des questions plus complexes, qui ne dépendent pas directement des régies de trois, mais qui s'y ramènent ou qu'il est facile de résoudre à l'aide des formules précédentes. £n voici un exemple :
On emprunte une somme C portant intérêt à t pour 100 par an ; quel capital doit recevoir le créancier, si l'on ne s'acquitte qu après un nombre de jours égal àj.
Si Ton emploie la formule (3) du n° 418, l'intérêt produit
par la somme C est tt/- — • La dette totale D est donc
dbooo
ouooo
Cette égalité est la formule générale des questions de ce genre. Elle renferme encore quatre quantités D, C, t, j, et permet de déterminer Tune quelconque d'entre elles quand on connaît les trois autres.
Nous ajouterons que, d'après le Code, les payements d'intérêt se prescrivent par cinq ans, c'est-à-dire que, lorsqu'une rente est restée plus de cinq ans sans être acquittée, le créancier De peut exiger, en droit, que cinq années d'arrérages, à moins de conventions spéciales ou de preuves interrompant la prescription.
Règles d'escompte.
422. Dans le commerce, on paye rarement comptant les objets livrés : on solde ses achats au moyen d'un billet ou effet, payable à une époque déterminée qu'on nomme échéance du billet.
Si le créancier a besoin d'argent avant l'échéance du billet qu'on lui a souscrit, il le passe à un banquier qui en acquitte le montant, sauf une retenue à son profit. Cette opération et la retenue correspondante portent le nom d'escompte.
Db c. — Cours, I, 18
2^4 AniTHMÉTIQUE.
Il y a deux sortes d'escompte ; l'escompte en dehors^ le seul usité en France, et l'escompte en dedans souvent employé à l'étranger.
Pratiquer l'escompte en dehors d'un billet, c'est retenir l'intérêt rapporté par la somme qui y est inscrite, depuis le jour de la présentation du billet jusqu'au jour de son échéance. Le possesseur du billet reçoit seulement la différence entre le montant du billet et l'intérêt ainsi calculé.
On voit que la formule de l'escompte en dehors se confond avec celle de l'intérêt simple (4-18).
Ainsi, pour escompter le 3 octobre un billet de i5oo francs qui n'échoit que le ?.o décembre suivant , le taux de V escompte étant 6, il faut, d'après ce qui précède (4-19), compter 9.g jours en octobre qui est un mois de 3i jours. Séjours en novembre, et 19 seulement en décembre, en supprimant le jour de l'échéance : on trouve alors 78 jours, et l'on a pour l'escompte cherché (4.18)
E = — -, ~ = iQf',5o.
booo ^
4'23. L'escompte en dedans consiste à retenir seulement les intérêts de la valeur du billet, au jour de sa présentation. C'est ce qu'on nomme la valeur actuelle du billet.
Un billet de 3ooo francs, par exemple, payable dans 85 jours, ne vaut pas aujourd'hui 3ooo francs : il ne les vaudra que dans 85 jours. Sa valeur actuelle est la somme qui, augmen-tée de ses intérêts^ pendant 85 jours, représente précisément 3ooo francs.
Soit à escompter en dedans, au taux de t pour 100, un billet C payable dans un nombre de jours égal à j. Représentons par or sa valeur actuelle. On aura, par définition,
xtj ___p 36000 '
d'où
36oooC looC
36000 H- // tj
3bo
Le quotient ^4- est l'intérêt rapporte par 100 francs placés
dans les mômes conditions que la valeur actuelle du billet. Si Ton désigne cet intérêt par r', on a, pour la formule générale de la valeur actuelle d'un billet,
looC jc = •
lOO -h /'
D'après ce qui précède, la différence entre le montant du billet et sa valeur actuelle est précisément l'escompte en dedans. La formule générale de cet escompte E' est donc
lOO -f- /' loo -i- /'
1^24. Puisqu'on a, par définition,
on voit que l'intérêt deC est égal à l'intérêt de x augmenté de celui de E'. En d'autres termes, l'escompte en dehors est égal à l'escompte en dedans, augmenté de son propre intérêt. Telle est la différence entre les deux escomptes. Comme Tescompte se fait rarement à long terme, cette différence est en général très-faible. En reprenant l'exemple du n° 422, on trouve 19^', aS pour l'escompte en dedans du billet considéré. Dans cet exemple, la différence entre les deux escomptes est donc seulement de o'',25. On peut vérifier que l'intérêt de ï^^\iS, dans les conditions posées, est bien égal à o^',25.
425. On peut vouloir remplacer plusieurs billets à échéances diverses par un seul billet équivalent, dont il s'agit alors de calculer Véchéance moyenne.
On détermine cette échéance par la condition que l'escompte du billet unique, effectué à une date antérieure quelconque, soit égal à la somme des escomptes des billets primitifs effectués à cette même date.
Soient a, a% a' les montants des billets primitifs, et A=:a + a^+a^ le montant du billet unique qui doit les remplacer. Désignons par jf, /, j" les nombres de jours qui séparentrespeciivementla date auxiliaire fictive des échéances des billets a, a\ a" y et par J le nombre de jours qui doit s'écouler entre cette date auxiliaire et celle de l'échéance m-
connue du billei A. Soil, enfin, — - - = ûf le diviseur (418)
qu'on doit adopter d'après le taux choisi.
La somme des escomptes en dehors (422) des billets primilils est
AJ
L'escompte en dehors du billet unique est--i-« On a donc,
pour déterminer J, la condition
A J ___ aj -h a'y' 4- a"]" d "^ d '
d*ou Ton déduit
.' .'/ . ^ff :if
a -\- a' -ir a"
La partie entière du quotient indiqué dans le second membre de l'égalité précédente fera connaître le nombre de jours J, c'est-à-dire fixera l'échéance moyenne du billet A.
On voit que ce résulini est indépendant du taux de l'escompte, puisque le diviseur d disparaît du calcul. Il est également indépendant de la date auxiliaire fictive ({u'on a choisie; car, si Ton modifie cette date en la reculant ou en l'avançant d'un certain nombre de jours, on augmente ou l'on diminue du même nombre d'unités les nombres jf,/,^, et, par suite, le nombre J. L'échéance moyenne reste donc toujours la même.
Dans la pratique, on prend pour date auxiliaire le jour de l'échéance du billet qui devrait être payé le premier.
Qaestions sar les rentes.
426. Lorsqu'un gouvernement fait un emprunt, il peut opérer de deux manières : indiquer d'avance l'intérêt qu'un capital donné rapportera, ce qui est le mode le plus rationne); ou bien indiquer seulement l'intérêt promis, en omettant le véritable capital correspondant et en le remplaçant par un capital fictif ou nominal. C'est ce dernier mode qui est généralement suivi pour les emprunts publics.
Ainsi on emprunte 100 millions à 3 pour 100 : cela veut
dire qu*on constitue aux prêteurs 3 millions de rentes annuelles; car loo est contenu un million de fois dans loo millions. Mais cela ne signifie pas que l'État recevra réellement en échange un capital de loo millions. Si la situation du crédit est telle au moment de l'emprunt qu'on puisse retirer plus de 3 francs dMntérêt d'un capital de loo francs, le gouvernement sera forcé de recevoir, pour l'intérêt de 3 francs, un capital inférieur à loo francs. Il exigera donc, suivant les circonstances, 8o, 75, 70 francs. Dans le second cas, par exemple, le prêteur ne placera pas son argent à 3 pour 100, mais bien à 4; car donner 75 francs de capital pour 3 francs d'intérêt, c'est donner aS francs pour i franc, et 100 francs pour 4 francs d'intérêt. C'est pour cette raison que, dans les titres ou inscriptions de rentes sur l'État, le capital réel n'est pas énoncé, mais seulement Tintèrent.
Les emprunts publics se font d'ailleurs avec la clause expresse de n'acquitter que l'intérêt annuel des capitaux prêtés, sans prendre aucun engagement pour leur remboursement.
Les rentes sur l'Etat, les actions et obligations de chemins de fer, etc., se négocient tous les jours à la Bourse. La valeur du capital correspondant varie continuellement suivant les prévisions des joueurs, les bruits de toute nature, etc. Cette valeur spéciale et journalière s'appelle le cours ou la cote de l'efFet public considéré.
On dit qu'une rente sur l'État est au /lairlorsqu'elle atteint le cours nominal de 100 francs. Le remboursement d'une pareille rente, s'il a lieu, doit être fait au pair.
427. Tous les problèmes qu'on peut se proposer sur les effets publics sont de simples règles de trois. Il suffira d'en donner quelques exemples;
I** On veut placer 60000 francs en rente 3 pour 100; le cours actuel de cette rente étant 71,25, quelle inscription devra-t-on recevoir?
Dire que la rente 3 pour 100 est au cours de 71,25, c'est dire que ce capital correspond à 3 francs de rente. La question revient donc à celle-ci :
Sachant que 3 francs de rente exigent un capital de 7i'%25, à quelle rente a: donnera droit un capital de 60000 francs?
Les capitaux et les rentes sont des grandeurs proportion-
nelles; on aura donc (408)
On voit que, pour connattre le montant de la rente qu'on peut acheter avec un capital donné, à un cours donnée il faut multiplier le capital par Vintérét nominal de la rentCy et diviser le résultat obtenu par le cours*
2° Quel capital faut 'il employer pour acheter 3ooo francs de rente 5 pour 100, au cours de 98^% 75?
En désignant par x le capilal inconnu, on a immédiatement, d'après ce qu'on vient de dire,
On voit que, pour connattre, à un jour donné, la valeur d'une inscription de rente sur l'État, il faut multiplier le montant de cette inscription par le cours, et diviser le résultat obtenu par l'intérêt nominal de la rente,
3" J quel taux place-t-on le capital qu'on emploie, en achetant de la rente 4 7 pour 100 au cours de 88*"', 70?
En désignant par x le taux inconnu, on a
On voit que, pour connattre le taux de l'intérêt rapporté par un capital placé en rente sur l'État à un cours donné, il faut multiplier par 100 l'intérêt nominal de la rente, et diviser le résultat obtenu par le cours ( ' ).
4® Le 4 pour 100 étant au cours de 84^'» ^5 et le 3 pour 100 au cours de 69'', i5, quel est le placement le plus avantageux au point de vue des intérêts produits?
Si 4 francs d'intérêt correspondent au capital 84,^5, i fraiK
84,25 d'intérêt sera produit par le capital — j — ou 21'% 0625.
(*) Dans les exemples précédents, nous avons négligé la commission ou le courtage dû à Tagent de change chargé de l'achat ou de la vente d'un effet public. Ce droit de courtage est, en général, de -y pour loo de la valeur de reflet. Nous avons aussi négligé le timbre.
AHITHMÉTIQUE. 2^9
Si 3 francs d'intérêt correspondent au capital 69,16, 1 franc d'intérêt sera produit par le capital -^ — ou a3'',o5. U vaut donc mieux acheter de la rente 4 pour 100.
Des assaranees.
428. On appelle (assurance un contrat par lequel, moyennant une prime convenue, un objet déterminé se trouve, pour un temps limité, garanti ou assuré contre tout risque extérieur. On assure, par exemple, une maison, un mobilier, des récoltes, contre l'incendie, la foudre ou la grêle.
Le contrat passé entre l'assureur et l'assuré, ou police d'assurance, est signé d'avance; et la prime est calculée à tant pour 100 de la valeur de l'objet garanti, d'après les données de l'expérience.
On a vérifié, en effet, qu'au sein des grandes agglomérations humaines, les mêmes événements naturels se reproduisent avec une singulière régularité. La loi existe sans que nous puissions remonter à son principe. Ainsi, dans un pays donné, le nombre des naissances, celui des décès, des mariages, la quantité des eaux pluviales, la température moyenne, etc., sont des quantités approximativement fîxes, lorsqu'on considère un certain temps partagé en intervalles égaux d'une durée convenable. Il en est de même des sinistres de toute nature; eux aussi se reproduisent périodiquement, lorsqu'on embrasse un temps assez long pour que les inégalités de délait puissent se fondre dans l'ensemble.
Supposons, par exemple, que, sur 586 navires baleiniers,
8 bc soient perdus en quatre ans. Acceptons ce résultat comme
moyenne des pertes. Si 8 navires se perdent sur 586, il s'en
perdra i sur -rr- ou i sur 78,25. On prendra donc 74, et l'on
posera en principe, en faisant abstraction de toute chance heureuse ou malheureuse, que, sur 74 navires, il s'en perd toujours I. Sur tout le capital engagé ou assuré, l'assureur
devra donc prélever d'abord une prime égale à -y de ce capital, ce qui revient à i,36 pour 100; mais il doit s'indemniser aussi des frais d'administration et jouir d'un certain bénéfice.
a8o ARITHMÉTIQUE.
La prime pourra alors être réglée à 4 pour loo du capital garanti. De cette manière, les bénéfices de Tassureur ne sont plus exposés au hasard, et l'assuré, en sacrifiant une faible partie de ceux auxquels il a droit, les rend tout à fait certains. Le calcul de la primeseréduitàchercherrintérêtà4pour loo du capital engagé dans l'entreprise maritime.
La prime des assurances contre l'incendie, contre la grêle, etc., se calcule de même, en ayant toujours égard à l'observation des événements malheureux dans un temps donné.
429. Nous venons de parler des assurances à prime fixe. Il faut encore distinguer les assurances mutuelles.
Dans ce second mode d'assurances, les frais généraux de la Société et le montant des sinistres subis sont répartis annuellement entre tous les assurés, proportionnellement au capital garanti par chacun d'eux. La prime est alors essentiellement variable, puisqu'elle dépend directement des sinistres que la société a à supporter dans le courant de chaque exercice. On l'obtient, pour chaque assuré, à l'aide d'une simple proportion.
Nous n'avons pas à traiter ici des assurances sur la vie^ les questions qui s'y rattachent ne pouvant être étudiées qu'en Algèbre.
Partages proportionnels. — Règles de société.
. 430. Partager un nombre donné en parties proportionnelles à d'autres nombres donnés^ c'est le partager en parties telles, que leurs rapports respectifs aux nombres qui leur correspondent soient égaux entre eux.
D'après cela, si l'on veut partager un nombre N en parties ^fX» ^9 proportionnelles aux nombres donnés a, b, c, on doit avoir
abc
Mais, lorsque plusieurs rapports sont égaux, on forme un rapport égal à chacun d'eux en les ajoutant terme à terme (386); chacun des rapports précédents est donc égal à
