Voici une seconde application
Un arrondissement, composé de 4 cantons, doit fournir 21 5 soldats. Les populations des 4 cantons sont respectivement : 32119 habitants, 4^827 habitants, 23910 habitants, 19813 habitants. On demande de répartir le contingent à fournir d'après la population, aussi équitablement que possible.
II faut partager 2i5 en parties proportionnelles aux nombres d'habitants donnés. On trouve ninsi :
Pour le 1" canton . . 59, 1
Pour le 2* canton 75,2
Pour le 3" canton 44 »o
Pour le 4* canton 36,5
La répartition ne pouvant avoir lieu qu'en nombres entiers, on demandera respectivement aux 4 cantons, 59 hommes, 75 hommes, 44 hommes, 36 hommes, en tout 214. Il restera donc un conscrit à demander en plus à Tun des 4 cantons, li semblerait au premier abord que c'est le quatrième canton qui doit le fournir, parce que c'est pour ce canton que la partie décimale négligée est la plus considérable. Mais on ne tiendrait pas compte ainsi du nombre des habitants. 11 faut chercher l'augmentation absolue que subit le résultat trouvé lorsqu'on
ÀBITHMÉTIQUE. 283
prend pour chaque canton un soldat de plus, et la comparer au nombre d'habitants du canton. Le canton pour lequel on trouvera ainsi le plus petit quotient devra évidemment fournir un soldat de plus.
Les résultats 60, 76, 45, 87 correspondent aux augmentations absolues 0,9, 0,8, 1, o»5, et Ton a
= o,oooo4i»
La plus petite augmentation relative correspond au second canton. La répartition la plus équitable consistera donc à demander 59 hommes au premier canton, 76aii deuxième, 44^^' troisième et 36 au quatrième.
Questions sur les mélanges et les alliages.
433. On peut se proposer sur ces sortes de questions deux problèmes très-différents :
I** Étant donnés les quantités à mélanger et les prix de leurs unités, on demande le prix total du mélange;
2" Étant donnés le prix total du mélange et les prix des unités des quantités à mélanger, on demande dans quelles proportions ces quantités doivent être mélangées.
Ce second problème est en réalité du ressort de l'Algèbre et, comme nous le montrerons, il est indéterminé dès qu'on considère plus de deux quantités.
43i. Voici deux exemples du premier problème : On mélange 80 litres de vin à o^',5o le litre, 60 litres devin à o'',70 le litre, 1 10 litres de vin à of',85 le litre, et l'on demande le prix du litre du mélange».
Ht ^ fr fr
80 à o,5o valent 8oxo,5o— 40 60 à 0,70 valent 60X0,70 := 4^ no à o, 85 valent iioXo,85= 93,60
a84 ARITHMÉTIQUE.
Les 25o litres du mélange valent donc i75^%5o. Par suite,
I no 5o I litre du mélange vaut — — * - == o^%702.
On a 3 lingots d'argent : le premier, au titre de 0,960 et pesant 8 kilogrammes; le deuxième, au titre de 0,820 et pensant i5 kilogrammes ; le troisième, au titre de 0,760 et pesant 1 1^«,5. On demande le titre de l'alliage obtenu en fondant ces trois lingots.
8 kilogrammes à 0,960 de fin renferment Q^^ x 0,9^0 ou 7^«,6oo d'argent pur.
16 kilogrammes à o.8ao de fin renferment i5^«x 0,820 ou i2^«,3oo d'argent pur.
ii*'«,5 à 0,760 de fin renferment ii^»,6x 0,760 ou 8^«,625 d'argent pur.
L'alliage résultant de la fonte pèse donc 34''S5 et contient 28*'«,526 d'argent pur. Son titre est, par suite (366), égal à
-.,,., OU a 0,8268.
D'une manière générale, on voit que, si Ton désigne par P, P', P" les quantités à mélanger ou à allier, et par /?, p\ p" les prix de leurs unités ou leurs titres, le prix de l'unité du mélange ou le titr^. de l'alliage est donné par la formule
435. Résolvons ?e second problème, en nous bornant d'abord au cas de deux quantités.
On a 2 lingots d'argent, l'un au titre de 0,960, l'autre au titre de 0,820; dans quelle proportion faut-il les mélanger pour obtenir un alliage au titre de 0,900?
Si, au lieu de i kilogramme de l'alliage cherché, on prenait I kilogramme du premier lingot, l'erreur e/i /?/{^ sur le titre serait de 0,960 — 0,900 = 0,060. Si la quantité choisie du premier lingot n'est plus égale à i kilogramme, mais à la fraction X kilogramme, l'erreur en plus sera a; x 0,060.
De même, si, au lieu de i kilogramme de l'alliage cherché, on prenait 1 kilogramme du second lingot, l'erreur en moins serait de 0,900 — 0,820 = 0,080. Si la quantité choisie du se-
ARITHMÉTIQUE. a85
cond lingot n'est plus égale à i kilogramme, mais à la fraclion Y kilogramme, l'erreur en moins sera/x 0,080.
Pour qu'il y ait compensation, c'est-à-dire pour que le kilogramme de l'alliage soit au titre de o^goo, il faut que les erreurs en plus et en moins soient égales et, par suite, qu'on ait
On en déduit
On doit donc former i kilogramme de l'alliage projeté, de deux fractions x ^\. y des lingots considérés, inversement proportionnelles aux différences o,o5o et 0,080 qui existent entre le titre moyen et chacun des titres donnés; c'est-à-dire que Xy quantité du premier lingot, doit correspondre à la différence entre le titre moyen et le titre du second lingot, et que/, quantité du second lingot, doit correspondre à la différence entre le litre du premier lingot et le titre moyen.
Remarquons que la somme des fractions j: et / est supposée égale à i kilogramme. La question est donc ramenée à partager un nombre donné en parties proportionnelles à des
nombres donnés. On peut remplacer le rapport ' ^ par le rapport ^* On a alors (430)
c'est-à-dire
La fraction —r^ revient à o,6i54 et la fraction —, à o,3846. On li i3
prendra donco*'«,6i54du premier lingot eto*'«,3846du second,
pour former i kilogramme de l'alliage.
&36. Voyons maintenant comment on peut opérer dans le cas où l'on a à considérer plus de deux quantités.
Un boulanger a trois espèces de farine, la première à o''',4o le kilogmnime, la deuxième à o'',So le kilogramme, la troi^
a86 AUITHMÉTIQUE.
sième à o^^,55 le kilogramme. Dans quelles proportions doit-on opérer le mélange de ces trois farines pour que le kilogramme du mélange coûte o^',^51
La question est indéterminée; c'est ce que montre la marciie que nous allons suivre pour trouver Tune des solutions du problème.
Cn prend un prix intermédiaire entre le premier prix o'',4o et le prix moyen o^',^5 : par exemple, le prix o^',43 ; et Ton cherche dans quelle proportion il faut mélanger la première et la deuxième espèce de farine pour que le prix moyen du mélange auxiliaire ainsi formé soit égal à o^'',43. En appelant ;r et / les fractions de kilogramme à mélanger, pour avoir i kilogramme du mélange» on peut poser, d'après ce qui précède (435),
On doit donc partager i en parties proportionnelles à 7 et 3, c'est-à-dire que x est égal à ©^«,7 et ^ à o^«,3.
On cherche ensuHe dans quelle proportion il faut mélan* ger la farine résultant du premier mélange et celle à o^',55 pour que le prix moyen atteigne la valeur demandée o^%4^*
£n appelant z ei u les fractions de kilogramme du premier mélange et de la troisième espèce de farine, qui doivent composer le kilogramme du mélange cherché, on a
On doit, par suite, partager i en parties proportionnelles à 5
et I, c'est-à-dire que z est égal à -^ et m à -^»
Il faut, pour terminer, calculer les quantités des deux premières espèces de farines qui doivent composera. Si z était
égal à I kilogramme, il y entrerait o^S7 à o^',4o et o^«,3 à
5kg 5kl
o^%5o; z étant égal à /•-? il y entrera -^ x 0,7 = o*^«,583 de
5kg farine à of^4o et ->- x o,3 = o^^aSo de farine à o^',5o.
£n résumé, on répondra à la question en formant chaque
kilogramme du mélange de
kK fr
o,583 de farine à o,4o o,a5o à o,5o
