AA

EE mat C sin x + Cie, Je

Calculons alors, la différentielle de arc sin — On a : \ dub DIE ; Re k ) k dx Es k DE k2 — x? VE — x?

Der AE La

on en conclut :

? de À É L Re = arc sin —— + CE, V HET k EXEMPLES :

FANS J Va dx : 24 ——— — arc sin —— + Cie, Vi —x 2

225. Fonctions primitives de sin x, cos x, tang x, cotang +, — Nous nous contenterons d'écrire les résultats qu'il suffit de vérifier par différentiation :

x? + 4) Cie:

J sin æ.dx = — cos x + Cf;

fees Éd = six + CE;

sin ZX

| lan PAT

COS æ ; f'eotang x. dx =[ dx = L. sinx + C*#.

» sin x

= — L, cos x + CE;

Les deux derniers résultent de ce que ces deux intégrales sont de la forme

lee = Lu + Cé,

Car d cos x — —sin x.dx,

et d sin x = cos x.dx.

Tableau des intégrales indéfinies les plus simples

da * du SE Lx ; DerSU la Lu ; ; ) mate (ax - b\r+1 « J(« AV ps a (m + 1) > (nm 1

% dx I ; 12 RE arc tang — ; x? + a? a er

De, NE ire JPC il :

A fees x de = sin a:

fans + de = — 1 cos #; foot tang x dx = J;sin x;

ferde= EE

fe 156 Dem SR

MÉTHODES D'INTÉGRATION 193 226*. Fonctions primitives de a’, e*. — Des formules (n° 82)

de — et dx, dar —= at La,dr,

on déduit immédiatement

Î etdx = ex + Cf;

fear re = + Cie,

227". Il n'existe pas de règles générales pour calculer les intégrales indéfinies, comme pourle calcul des dérivées. On ne possède que des procédés particuliers permettant, dans certains cas, de trouver des intégrales indéfinies.

Les deux procédés les plus connus sont : l'intégration par parties et le changement de variables que nous allons indiquer sommairement.

228*. Intégration par parties. — u et e désignant deux fonctions de la même variable x, on a, comme on sait,

d'(uv) = udv + vdu, d’où on tire :

v.du = d'(uv) — u.dyv.

Prenons les intégrales indéfinies des deux membres et remarquons que l'intégrale indéfinie de d(uv) est évidemment we. On a, alors, la formule fondamentale

(1) fie = y — fur,

qui sert à faire ce qu'on appelle l'intégration par parties. Cette formule ramène le calcul de l’intégrale | 0.du à celui de l'inté-

grale pute. Or, il peut se faire que l’on ne connaisse pas la première directement mais qu'on connaisse la seconde.

BourLer. Cours de math, 13

i94 (COURS DE MATHÉMATIQUES

Pour appliquer cette méthode on cherche donc à mettre la différentielle à intégrer sous la forme v.du& et on appliqüé la formule (1).

Ceci deviendra plus clair sur les exemples ‘que nous allons traiter :

229*. Exemple I. — Trouver la fonction primitive de Lx. — H s’agit de trouver l'intégrale indéfinie

elle a la forme.

à condition de poser :