COS €. AY
Nous remarquerons que cos æ dx est la différentielle de sin +. On peut donc écrire |
[x COS X.dx —= l x.d sin x = f du LE e/
en posant HU =='Sin Æ.
En appliquant la formule (1) (n° 228”), on a, alors,
Na
J L: COS Æ:dx —%x: Sin T — fsin TE et
J= cos æ.dx = x. sin æ + cos + + Cte.
232°. Changement de variables. — La méthode d'intégration par changement de variables repose sur le fait, démontré au n° 50", que la différentielle première d'une fonction a la même forme, que la variable dont elle dépend directement soit indépendante ou non.
Soit /{(x)dx une différentielle et F(x) l'intégrale indéfinie. On aura |
dF (x) URI un
Supposons que, dans cette égalité on remplace x par une fonction d’une nouvelle variable y. En vertu du théorème rappelé l'égalité subsiste ; F(x) devient une fonction de y dont la différentielle est encore /{x)dæx. Si, par exemple, on pose
LE IG (Y) 00 a MATHIEU (y) étant la dérivée de o(y), on aura:
dE Te (1 = fle 0]: 9" Or). dy.
Si on sait trouver la fonction primitive de /f[e(y)] #/(y) on saura trouver Fle(y)] et, en faisant dans cette fonction le changement de variable inverse, c’est-à-dire en remplaçant y en fonction de x on aura F(x).
Le changement de variable ramène donc le calcul d’une inté-
grale indéfinie à celle d’une autre et on conçoit qu'un choix habile du changement puisse simplifier souvent la question,
En voici des exemples.
233*. Exemple I. — Soit à calculer l'intégrale indéfinie
Pi
Nous transformons légèrement la quantité sous le radical en vertu de l'identité connue :
dx
x? pet q
F5 A TE D (: “e r)+ ne
CTAOILEANS dx L == a — D )2 ) Posons ) x + 1 0 nous aurons dur, et 1 si ax
Nous retrouvons une intégrale connue (n° 224) et il vient :
Pour avoir l'intégrale cherchée, il nous suffit de remplacer
y par sa valeur x + LP et nous avons :
dl ÎLE [rt + rer |
198 COURS DE MATHÉMATIQUES 234". On traiterait de la même façon l'intégrale DE Va APTE
On l’écrira :
i dx Re = D: P Ü =—— — Ve \/ > :
En posant 2) x =7, ON à: 2 JAN ENTRE et, par suite :
dy = TR P [3 \/4 a cd + e LE : dx C'est une intégrale de la forme connue (n° 224) ee | F 22 — x?) 2?
OÙ A = g + À, Ona donc :
Imraresin Dern ‘as q 4%; et, par suite, us Ve —= arc Sin TE — €? + px +0 D?
PX +4 \/# 2-30 Â 235*. Fonctions des lignes trigonométriques. — Dans
le cas où il s’agit de trouver Ja fonction primitive d’une fonction de sinx, cosæ, tangæ, cotang x, il y a un changement de variable classique qui permet souvent de résoudre
la question.
On démontre, en trigonométrie, les formules suivantes :
L \ 2 (ang re 4 \
