S 4. — INTÉGRALES DÉFINIES. AIRES PLANES

237. Definition de l'intégrale définie, — Etant donnée une fonction primitive F(x), d’une fonction f(x) finie et continue, on appelle intégrale définie de fix)dx prise de a à b, la différence F(b) — F(a).

Cette intégrale définie se représente par le sym-

b bole f fx)dir. qui se lit: somme de a à b de f{x)dx. f |

On a donc, par définition, b Î fx) dx =F (6) —F (a).

En d’autres termes :

L'intégrale définie | f(x)dx est l'accroissement de l’une des fonctions primitives de f(x) lorsque x varie de a a b.

Il ne faut pas oublier que la fonction f{x) doit rester finite dans l'intervalle (&, b).

Calculer une intégrale définie, c’est ce qu’on appelle quelquefois faire une quadrature.

238. — Comme une fonction /{x) a plusieurs fonctions primitives, il faut, pour légitimer la définition

qui précède, montrer que la valeur d'une intégrale définie est la même, quelle que soit la fonction primitive choisie pour la calculer.

Soient donc, F{x) et F{x), deux fonctions primiüves de la même fonction f{x); on a, comme on sait (n° 240),

F, fx) =F (x) +0,

C étant une constante. Donnons, dans cette égalité, à +, successivement les valeurs & et b. Nous avons :

et, en retranchant membre à membre, F(b)—®, (a)=F(8)—F (a).

ce qui montre que l'accroissement de F(x) est égal à celui dé F{x), |

Ab La valeur de / f{x)dx qui est, par définition, égale

à cet accroissement est donc bien la même qu'on la calcule avec F,(x) ou avec F(x).