Theorèeme, — On a la relation

"UN x)du+ | flæ) de = lrta ANA (1) En effet, on a par définition (n° 287)

OL CENC (2

et

10 dx = F(b) —F (ce). (3)

Ajoutant les relations (2) et (3), on a

Ô b il FC) dx + [ f(x dx F ()—F(@ et par suite c b b Î fr) dx + (CARE [ { (x) ds ce qui démontre la relation (r).

242. Théorème, — La dérivée de l'intégrale définie l'E / f(x) dx.

considérée comme fonction de la limite supérieure x est fix).

Soit, en effet, F(x), une fonction primitive de f(x), on a, par définition,

Prenons les dérivées, on a alors, pige) car la dérivée de F(x) est f(x) et celle de F(a) est nulle. 243. Corollaire. — La difjérentielle de l'intégrale définie |

1 f(x) dx,

Sué D

considérée comme fonction de sa limite supérieure x est

f(æ)dx.

244. Évaluation des aires planes, — Considérons une courbe ayant pour équation y —f (x) (fig. 71) et proposons-nous d'évaluer la somme S des aires ombrées en les prenant positives si elles sont situées au-dessus de Ox et négatives si elles sont situées au-dessous de Or.

On sait que si on prend un point M sur la courbe, d’abscisse x, l'aire comprise entre l’ordonnée A A et l’'ordonnée du point M est une fonction primitive fx) def (x) (n°208).

Considérons une fonction primitive quelconque de f(x),soit » (x).

Les deux fonctions F (x) et (x) étant les primitives d’une même fonction f (x) ne diffèrent que par une constante (n° 210) et on a :

Dans cette relation Cest une constante qu'il faut calculer :

GÉDOUr == 7 on dt) 0, car l'aire comprise

entre À A'et M M'est évidemment nulle quand X—= à c’est-à-dire quand M M' coïncide avec A A’.

PONS CR RS. DR NE ee PE EN OT ONE OR :

LME EE RE Ne à } Main Su

206 COURS DE MATHEMATIQUES La relation (1) donne alors, pour x —=4&,

et dela ontire la valeur de C :

Cette valeur portée dans l'égalité (1) donne F (x) —v(x)— (a):

Nous avons ainsi la somme F (x) des aires comprises entre À À’ et M M’.

En particulier, si nous voulons calculer la somme S des aires comprises entre À A’, d’abscisse &, et B B' d’abscisse D, il nous suilit de faire coincider M M' avec BB c’est-à-dire de faire x—0 ; on en conclut :

Sub)

ab = 2(b)—#()= f fa) de

On a donc

s= f fl fl \ dé.

Ce quinous prouve que : l'intégrale définie [ F1 [ (x) dx ca

représente la somme des aires comprises entre la courbe

l'axe Ox et les ordonnées des points de la courbe d'abscisses a et b.