OÙ
L 3 2 s— EL on Lpoaht + 30h +60) NN
ne | h Considérons le point C de la parabole d’abscisse — ,
c'est-à-dire celui dont le pied C’de l’ordonnée tombe au milieu de A’B'. Soit y, l’ordonnée de ce point qu'on appelle l’ordonnée moyenne, on a :
al? bl Ha
USE mt
Ys étant l’ordonnée de A, y, l'ordonnée de B, y, celle de C, on a donc :
Ho:
y, = ak? + bh +0, 4y, = ah + 2bh + 4e.
Ajoutons ces trois égalités ; il vient :
Yo + Yi +A4y, =2al +3bh+ 6e. (2)
En tenant compte de l'égalité (2), l'égalité (r) s'écrit alors : ; 5 RPG (y, + un ts AY) :
y, et y, sont ce qu'on peut appeler les deux bases du trapèze ; y, peut se nommer la base moyenne.
Cette formule exprime alors que: a
La surface du trapèze mixtiligne ayant un côté parabolique est égale au sixième du produit de la hauteur par la somme des deux bases augmentée du quadruple de la base moyenne. |
248. — La règle précédente s'applique encore à un trapèze tel que celui de la figure 55 formé par deux bases parallèles rectilignes AB et A’B’ et deux arcs
BourLerT. Cours de math. 14
ak
de paraboles A A’ et BB’ dont les axes sont parallèles aux bases.
Menons, en effet, une perpendiculaire commune CC! aux deux bases qui partage le trapèze en deux trapèzes de la forme précédente. On a donc :
S— rap. AA/C/C -Ltrap. BB'C!C.
Or, d’après ce que AU UOTE de voir, rap) AAC CE [AC + A'C'+ 4DE],
trap. BB'C'C — = [BC + B'C'+4EF|,
h étant la hauteur et DEF la base moyenne. Ajou- |
tons ces deux égalités et il vient :
ge . [AC BC) (A'C'-E BC) PA DER
Désignons par D, b', P les deux bases et la pe moyenne. On a :
AGHBC—AB—D,. ACEBC=ABES et, par suite,
peus
Cette formule est identique à la formule de Sarrus qui donne le volume du tas de sable.
249. Nouvelle definition de l’integrale définie. — Considérons une intégrale définie
SE | RÉ RrE a
nous savons (n° 244) que, si on trace la courbe (fig. 56)
qui a pour équation
l'intégrale S est égale à l’aire du trapèze mixtiligne A A'B'B compris entre la courbe, l'axe Ox et les ordonnées A A’ et BB’ des points d’abscisses «& et b.
Partageons le segment de droite A'B'en un certain
nombre de parties par des points intermédiaires DR APN ie 76),"d'abscisses 4,1, met par ces points menons les parallèles MM’, M, M”, … M, M, à l'axe Oy limitées à la courbe,
Menons enfin, par A,M,,M,,... M,, des parallèles Ac, M,u,, Mu, ...M,u, à Ox. Nous formons ainsi des rectangles AA'M',c, MM,Miu, MM',M.u,, M,M',B'u, inscrits dans le trapèze mixtiligne.
Il est clair que si l’on fait croître indéfiniment le nombre des points M’,,M",,... M',, de facon que les aires de tous les rectangles tendent vers zéro, la limite de la somme des aires de ces rectangles sera la surface S du trapèze mixtiligne.
Évaluons les aires de ces rectangles. On a :
Surf. AA'M a —f{a)(x,—a),
car la hauteur est l’ordonnée A A’=—f (4) et la base A'M,—OM, —OA'— x, — a.
De même, Surf. M,MNL,'u, ie Î (x) (x, per À) ) Surf. M,M,/M,'p 2 (x) CA Fu La)
etc.
Surf, MM, BE ANR La somme des aires de tous les rectangles est donc S'= fa) (t,—a) +) EEE
XL, — 4, XL, —%X,, … b—x, sont les accroissements de la variable x quand on passe successivement de A en M, de M, en M,, etc... de M, en B. Désignons ces accroissements, comme d'ordinaire, par Aa, Ax,, ..A%, et-on peutétrirek
S'—f'{e) Aa + fa) A +f (a) A, + + + fm) A,
b S’ Ne) ASE:
Le symbole >: f (x) Ax veut donc dire qu'on fait
ou encore, en abré
croître la variable x de a à b en lui donnant des accroissements successifs Ax et qu'on fait la somme des produits des valeurs de la fonction f(x) pour les diverses valeurs de x de a à b par Les accroissements correspondants de x.
Or, comme nous l'avons remarqué, lorsque le nombre p des points intermédiaires augmente indéfiniment, la somme S’ des aires des rectangles a pour limite l'aire S du trapèze curviligne ; on a donc:
b b 4 HTVA tm] N FU sx |
Ceci nous conduit donc à la nouvelle définition que voici de l'intégrale définie :
Etant donnée une fonction f(x) finie et continue pour les valeurs de x comprises entre «a et b, on donne à x, à partir de a, des accroissements successifs jusqu'& atteindre la valeur b. On considère la somme
b DS flx)Ax=fla)4a-t f(x) Ar, + f(x.) At, +.
L fl) Aa,
obtenue en multipliant les valeurs successives de la fonction par les accroissements correspondants de x.
b L'intégrale définie je f (x) dx est la limite de cette [14 somme lorsque, tous les accroissements Ax tendant vers zéro, leur nombre augmente indéfiniment.
Ab 250. Remarque. — La notation |
tée par Leiïbnitz a précisément pour but de rappeler cette propriété des intégrales définies. Le signe f rappelle le signe Y et dx rappelle Ax.
f(x) dx inven-
On donne le nom de quantité infiniment petite où d'infiniment petit à toute quantité variable qui tend vers zéro. Les produits f(x) Ax sont des infiniment petits, puisqu'ils tendent tous vers zéro quand les accroissements Ax tendent vers zéro.
On voit alors qu'une intégrale est la limite d’une somme d'infiniment petits dont le nombre devient infiniment grand.
251. Définition. — Etant donné (fig. 77) un arc AB d’une courbe plane, inscrivons dans cet arc une ligne
Fig. 99.
brisée AM MM... loin: es points + D AM,M,M....B en joignant les points A,M,M,...B de l’arc dans l’ordre de rencontre en allant de A en B.
Lorsque le nombre des points intermédiaires M,, I, … croit indéfinimen acon que chacun NS UNL t indéfi t, de fac I des côtés de la ligne brisée tende vers zéro, la Longueur de cette ligne a une limite qu'on appelle, par définition, la longueur de l'arc AB.
252. Galcul de la longueur d’un arc de courbe. — Soit AB (fig. 58) un arc de courbe rapporté à deux axes rectangulaires Ox et Oy.
Inscrivons dans cet arc une ligne brisée et soit MN un des côtés de cette ligne brisée. Si on désigne par æ, y les coordonnées de M et par x + Ax, y +AYy,
celles de N, la longueur de la corde MN (distance de deux points n° 443) est
corde MN=4/Ax + AYÿ — /: + (52) | Ax
La longueur L de la ligne brisée est la somme des longueurs des côtés, tels que MN; on a donc:
b "7" ARLES
. Considérons, d'autre part, la somme P suivante :
b ir
y' désignant la dérivée de y par rapport à x et a etb les abscisses des deux points fixes À et B.
Nous allons prouver que la limite de L est égale à la limite de P quand les Ar tendent tous vers zéro. Considérons à cet effet, le rapport
216 COURS DE MATHÉMATIQUES , A7 ES ee 0 Quand Ax tend vers zéro 3, à pour limite y’ et, de |
par suite, « {end vers 1. Si nous considérons alors le rapport
: L, 3e +(<2 AG | (1) À P TFTEN SIN ETS TR HANEVEES | DE + y AT
il a pour numérateur la somme des numérateurs, et pour dénominateur la somme des dénominateurs des fractions telles que «. |
D’après une propriété, connue en arithmétique, cette fraction $ est donc comprise entre la plus grande et la plus petite des fractions #. Or, lorsque
tous les Ax tendent vers zéro, chacune des fractions x
tend vers 1; 1l en résulte que $, qui est compris entre deux d’entre elles, a aussi pour limite tr. Ceci posé, l'égalité (1) donne
Comme nous venons de le démontrer, $ a pour limite 1 ; d'autre part, d’après ce que nous avons dit
b au n° 249, 1 y. Ax a pour limite l'intégrale U] P ei]
b définie | V3 + y dx. Il en résulte que, lorsque tous
les cotés de la ligne brisée tendent vers zéro, la longeur L de cette ligne a une limite qui est :
b a —————————— lim L= f Tr Eva
om
Si nous désignons donc pars la longueur de l'arc de courbe AB, on a la formule :
b s— f Vr+y de.
Pour appliquer cette formule, on calculera la dérivée y! de l’ordonnée de la courbe par rapport à l’abscisse ; on formera V1 + y°, on calculera la fonction
primitive de\/1 + y” et l'intégrale définie [VF y* y dx
en prenant l’accroissement de « à b de cette foncton primitive.
253. Différentielle d’un arc de courbe. — Soit $ l'arc de courbe AM (fig. 98), depuis le point À fixe d'abscisse «a jusqu'au point M variable d’'abscisse x,
On a, d’après ce qui précède
s—f Vi —- TE dx
et s est une fonction de x. La différentielle de cette fonction est (n° 243)
ds =\/1 + y?. dx
ou ME 700 ds =\/dx? + (y'dx), s = /dx Æ dy’.
Cette formule, facile à retenir, exprime que Parc
infiniment petit est égal à la corde infiniment petite qui la sous-tend.
