ÉQUATIONS DES SURFACES ET DES LIGNES

Cette relation est ce qu'on appelle l'équation de la surface.

En résumé :

L'équation d'une surface est une relation qui est vérifiée par les coordonnées de tout point de la surface. Cette équation permet de calculer l’une des coordonnées d'un point de la surface connaissant les deux autres.

261. Réciproquement, tous les points dont les coordonnées vérifient une relation sont situés sur une certaine surface.

En effet, cette relation fait correspondre à tout système de valeurs de x et y, une valeur de z. Si

. donc, on marque dans le plan xOy, le point m de coordonnées x et y et si on prend sur la verticale Mm un point M de cote z, donnée par la relation, lorsque le point m se déplacera dans le plan horizontal, le point M décrira une surface S.

Les coordonnées de tout point de cette surface vérifient la relation en question qui sera, par suite, l'équation de cette surface.

262. Équations d’une ligne, — Dans l’espace, une ligne L est l'intersection de deux surfaces S et S’.

Un point quelconque de la ligne est donc situé, à la fois, sur les deux surfaces S et S'; les coordonnées de ce point vérifient- donc, à la fois, les équations des deux surfaces. |

Réciproquement, tout pointdontles coordonnées vé: rifient à la fois les équations des deux surfacesSet S’, est situé à la fois sur ces deux surfaces, et par suite, sur leur intersection qui est la ligne L.

BourLetT. Cours de math. 15

Les coordonnées de tout point d’une ligne vérifrent donc deux relations qu’on appelle les équations de la ligne.

263". Cosinus directeurs d’une direction. — Soit OD une demi-droite issue de l’origine O des coordonnées (fig. 82).

Pour définir la position de cette demi-droite, il suffit de se donner les trois angles à, 6, y qu'elle fait avec les directions positives Or, Oy, Oz des axes. |

Au lieu de se donner «, f, ;, il est souvent plus commode de se donner les cosinus de ces angles : cos «, cos 8, cosy, qu'on appelle cosinus directeurs de la direction.

264. Théorème. — La somme des carrés des cosinus directeurs d'une direction est égale à 1.

Prenons, en effet, sur la droite OD un point A tel que OA — 1. Figurons le parallélépipède rectangle dont les trois dimensions sont les coordonnées de A (fig. 82). Ces trois coordonnées OP, OQ et OR ne sont autre chose que les projections du segment OA sur Oz, Oyet Oz. On a donc (n° 443).

DRE D SRE es à OP — OX vos (rOD) ="1"cos x =tcoste FN ES. mn LES OQ = OA cos (yOD) — cos B, —— —__— DAT R = OA cos (z0OD) = cos y,

Or, dans un parallélépipède rectangle, la somme des carrés des trois dimensions est égale au carré de la diagonale. On a, par suite,

App?

OP LE 00 et, enfin,

cos? a + cos? $ + cos? y — 1.

265. Plans paralleles aux plans de coordonnees. — Considérons un plan H (fig. 83) parallèle au plan

Fig. 85.

zOy: Il coupe Oz en À. Il est clair que tous les points M de ce plan ont même cote, car ils sont à la même distance du plan xOy et cette cote est égale à OA—a.

Pour qu'un point M soit dans le plan H il faut et il suffit que l’on ait

Zz = 4.

c'est l'équation du plan H.

De même un plan de front, parallèle au plan xOz