PES APS ST EU PR

228 COURS DE MATHÉMATIQUES a une équation de la forme

car tous ses points ont même éloignement.

Enfin, un plan de profil, parallèle au plan y0Oz a

une équation de la forme L—=0,

car tous ses points ont même abseisse.

266. Plans perpendiculaires aux plans de coordonnées, — L'équation d'un plan perpendiculaire à un plan de coordonnées est identique à celle de sa trace sur ce plan.

Considérons par exemple un plan véto P (fig. 84),

Fig. 84.

(perpendiculaire au plan horizontal x0y) qui coupe le plan xO0y suivant la droite À B. Pour qu'un point M soit situé dans le plan P il faut et il suffit que sa projection horizontale 7» soit située sur sa trace horizontale AB. Or, si les coordonnées de M sont. x, y, z, celles de m sont x, y.

L'équation de la droite A B dansle plan x0y (n°132) est de la forme :

ax + by +c—=0o (1) et pour que >» soit sur AB (et par suite M dans Île plan P) il faut et il suffit que x et y vérifient l’équation (1) qui, par suite, est l'équation du plan P,

On prouverait de la même facon que l'équation d’un plan de bout, perpendiculaire au plan :0x, est de la forme :

ax+bz+c—=o; et l'équation d’un plan parallèle à la ligne de terre, perpendiculaire au plan yOz, est de la forme :

ay + bz + c—o.

261. Plan quelconque. — Soit Q (fig. 85) un plan quelconque. Abaissons de l’origine O une perpen-

Fig. 85.

diculaire OH sur le plan et désignons par «, 5 et y les angles qu’elle fait avec Ox, Oy et Oz.

Posons OH — p.

Cela étant, prenons un point quelconque M dans 1e plan Q, abaissons la perpendiculaire M 72 sur le plan xOy et la perpendiculaire mPsur O7

OP=x, Pm—7y, mM—3 sont (n° 256) les trois coordonnées du point M.

Joignons MH, on voit que le segment O1 OH est la résultante des segments OP, Pm, mM et MH.

Si donc on projette sur un axe quelconque, on a, en vertu du théorème des projections (n°414),

proj. (OP)+proj.(Pm) + proj.(mM)+ proj. (MH) — pro. (OH). (1)

Projetons sur l'axe OH ; nous aurons :

proj. (OH) OH — p.

En portant dans (1) on a finalement :

XCOS a+ y. COS $ Hs. COS Y

c'est l'équation du plan Q. Elle est de la forme

ax + by + cz + d = 0.

268*. Réciproquement, toute équation de la fürme ax + by +cz+d—=o (3)

représente un plan.

Pour le prouver, il suffit de prouver qu’on peut déterminer K, «, B, y, p de façon que l'on ait :