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27. Théorème. — La dérivée du produit d'une fonclion par une constante est égale au produit de la dértivée de la fonction par la constante.
Soient, en effet, y une fonction de x admettant une dérivée y’ et a une constante.
Considérons le produit :
Donnons à x la valeur x + Ax, y prendra la valeur y—+Ay, a ne varie pas et z prend la valeur a(y +Ay). L'accroissement de z est donc :
Az=a(y+Ay)— ay —=aAy.
on en tire :
et, par suite, Az ) A7y se s $ um (—— )— «alim —Z= | —= ay.
AX AE Ÿ z admet donc une dérivée
28. Dérivees d’ordre supérieur au premier, — Lorsqu'une fonction de x admet une dérivée, pour toute valeur de x, cette dérivée est aussi une fonction de x qui peut elle-même admettre une dérivée. Cette dérivée de la dérivée est ce qu'on appelle la dérivée seconde de la fonction. De même, la dérivée seconde peut admettre une dérivée qu'on appelle la dérivée troisième, etc...
On nomme, alors, la dérivée, proprement dite, dérivée première, pour la distinguer des autres.
ExemPze.— La dérivée première de x? est 2x, sa dérivée seconde est2 X 1 — 2, en appliquant le théorème du n° 27.
La dérivée première de x est 1. La dérivée seconde est égale à zéro. Il en est de même de toutes les dérivées suivantes,
DERIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES 15
29. Notation, — On désigne la dérivée seconde en faisant précéder la fonction du signe D’, ou, plus simplement, en affectant la fonction de deux accents.
Ainsi, y”, f(x) sont les dérivées secondes de y et fix). |
Pour les dérivées troisième, quatrième, n°", on places 4... 2 accents.
30. Definition de la différentielle, — On appelle différentielle d’une fonction le produit de la dérivée de cette fonction par l'accroissement de la variable.
Soit y une fonction de x ayant pour dérivée y', la différentielle est par définition y'\x, Ax étant un accroissement arbitraire de la variable indépendante, accroissement quon considère, en général, comme étant très petit de telle sorte que la différentielle soit aussi une quantité très petite.
31. Notation. — On désigne la différentielle de y en faisant précéder y de la lettre d ; ainsi, OU) y AT.
Appliquons ceci à la fonction y—>x. On a, par défi nition,
dx — 1.Ax.
puisque la dérivée de x est 1.
On a, par suite,
La différentielle d’une variable indépendante est ésale à son accroissement.
On peut donc écrire
AN NTUT Re
16 COURS DE MATHÉMATIQUES d'où on tire
dy
CCE
Ve
La dérivée est le quotient de la différentielle de la fonction par la différentielle de la variable. dy
D'où, la nouvelle notation Tr Pour représenter è EX
la dérivée.
Exempze,— La dérivée de x? est 2x: la différentielle sera donc dx? = 2x dx.
32. Différentielles d’ordre supérieur au premier. — La différentielle seconde est la différentielle de la différentielle première où l’on considère la différentielle de la variable indépendante comme une constante.
La différentielle première étant donnée par l'égalité
