LES DIFFÉRENTIELLES

35. Théorème I. — La dérivée d'une constante est égale à zéro. (Voir la démonstration au n° 23.)

36. Corollaire. — La différentielle d'une constante est nulle.

37. Théorème II. — Lorsque plusieurs fonctions d'une méme variable admettent, chacune, une dérivée, leur somme admet, également, une dérivée qui est la somme des dérivées de ces fonctions.

Soient, en effet, uw, v, 4 trois fonctions de la variable x admettant des dérivées. Nous allons montrer que leur somme

admet une dérivée qui est la somme w'+0'—w de leurs dérivées.

En effet, donnons à x un accroissement A xet soient Au, Av, Aw les accroissements correspondants des

ci à à RENE

trois fonctions 4, v, w. Ceci veut dire que, pour la valeur x + Ax dela variable, ces trois fonctions prennent, respectivement, les valeurs wu+A&, o+A 0, w + A y et par suite leur somme prend la valeur

u + Au + + Ag —H 4 + Aw.

L'accroissement de y correspondant à l’accroissement A x de la variable, est donc

Ay = u—+Au<+ 0 + Av + w + A —(u + 0 + w) ou, en simplifiant, Ay — Au + Av + Aw.

On a donc, en divisant les denx membres par A x,

A7 hs AU Ac Aw

à e A Or, par hypothèse, lorsque Ax tend vers zéro, —

Av Aw tend vers w/, —— tend vers #’ et —— tend vers w’, on AD Ax

° Ay nn

en conclut (n° 9) que leur somme —- a une limite AX

qui est la somme des limites. y admet donc une déri-

vec

38. Corollaire.— La différentielle d'une somme de plusieurs fonctions est égale a la somme des différentelles de ces fonctions.

Soil

Y=U+V HW, on à

PA PEUT SO ONE ENT RS LR ENS "TE à VTT AVIS RTE MIE

en multipliant les deux membres par dx on a y'dx = udx + v'dx + w'dx ce qui peut s’écrire dy = du + dv + dw.

39. Théorème III. — Lorsque plusieurs fonctions admettent, chacune, une dérivée, le produit de ces fonctions admet une dérivée qui est la somme des produits obtenus en remplacant, dans le produit considéré, successivement, chacune des fonctions par sa dérivée.

1° Cas de deux facteurs. — Soient, d’abord, u et v

deux fonctions de x admettant des dérivées uw! et v’. Nous allons montrer que le produit

YU admet une dérivée qui est LAS Là 1 !

Y —= UV + vu.

Donnons, en effet, à x un accroissement Ax, il en résultera pour w et v des accroissements Au et Av. Ceci veut dire que, pour la valeur x + Ar, les fonctions w et prennent les valeurs 4 + Au et v HA; par suite, le produit prend la valeur

(u + Au) (0 + Av).

L’accroissement du produit y, correspondant à l’accroissement Az de x, est donc :

Ay = (u + Au) (0 + Av) — uv ou, en effectuant et simplifiant,

Ay = uAy + vAu + Au,Avy,

THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES DÉRIVÉES üt

Divisons par Ax, et il vient

1e À Pere n RARES Ap. (1)

ï A Lorsque Ax tend vers zéro, T- tend par hypothèse

Au Ë Av “re — tend vers w/. Par suite, u— a pour limite

A vers p et AT AX

/ AU ENV ; Res uv! et rer a pour limite ou’. Le troisième terme du

1PTANIe Au second membre de l'égalité (1), Fe Av, se compose de

deux facteurs: le premier qui a une limite finie w/, le second qui tend vers zéro. Car #, admettant une dérivée, est une fonction continue {n° 22) et, par suite, son accroissement As tend vers zéro en mème temps que Ax (n° 21). Le troisième terme a donc pour limite Zéro.