AT

es étant la somme de trois termes, ayant chacun une limite, a une limite (n° 9) qui est la somme des limites de ses termes. Donc, y admet une dérivée qui est

y = uv + vu’.

2° Cas de plusieurs facteurs. — Le théorème, étant vrai pour le cas de deux facteurs, s'étend facilement, de proche en proche, au cas de plusieurs facteurs.

Soient w, v, w trois fonctions de x, admettant des dérivées, w/, v', w'. On peut écrire le produit

DU UN) y,

en le considérant comme un produit de deux facteurs uv et w qui admettent chacun une dérivée. y admet

donc une dérivée fournie par la règle précédente (cas de deux facteurs)

So A s

y = (uv) w'+ (uv) w (x

mais on sait que la dérivée de (uv) est us’ + vu! et, en portant cette valeur dans l'égalité (1), on a

y! = uv" + (us! + ou!) LOI EUOM LE QU

Le théorème, étant vrai pour trois facteurs, s’étendra au cas de quatre facteurs, en considérant le produit uvws de quatre facteurs comme le produit des deux facteurs www et s et en appliquant la règle établie pour deux facteurs ; et, ainsi de suite, de proche en proche. 9 |

40. Corollaire I.— La différentielle d'un produit de plusieurs facteurs est égale à la somme des produus obtenus en remplaçant successivement chaque facteur par sa différentielle.

En effet soit

y —=UVW, on à y'—= vœu! + uwv'+ uv”.

Multipliant les deux membres par dx, on a

y'dx = vwu'dx + uwo'dx + uow'dx, :

ou dy = vwdu + uwds + uvdw.

41. Corollaire II. — La dérivée ou la différentielle d'une puissance entière et positive d'une fonction s'oblent en multipliant cette puissance par son exposant, en diminuant, ensuite son exposant d'une unité et en

multipliant le tout par la dérivée ou la différentielle de la fonction.

En d’autres termes si on a

y — LT / m—1,,/ Vo Inu u ° et dy — nu" du.

Prenons d’abord un cas simple. Soit : x