YU" —= UUU... U
où 1l y a »2 facteurs dans le dernier membre; on en conclut :
y =uuu... uU +UWU...U +...
le second membre étant une somme de 7» produits.
Un quelconque des termes de cette somme se compose d’un produit de (n2—1) facteurs égaux à w et d'un facteur égal à uw’. On peut done écrire
y un HU u"— 174! le. Don
TO Te
puisqu'il y a » termes égaux à u”—‘u’
42. Théorème IV.— Lorsque deux fonctions admettent, chacune, une dérivée, leur quotient admet une dérivée, qui est une fraction ayant pour numérateur l'excès du produit de la dérivée du numérateur par le dénominateur sur le produit de la dérivée du dénominateur par le numérateur, et pour dénominateur le carré du dénominateur du quotient proposé.
En d’autres termes, soient &w et v deux fonctions admettant des dérivées uw’ et v’, Le quotient
u UE V , admet une dérivée qui est :
p Up—Vu DS o? à
Donnons à x un accroissement Ax; uw prendra un accroissement Au et v un accroissement Av. Pour la valeur x + Ax de la variable, le quotient
aura la valeur u - Au p + Av
L'accroissement du quotient, qui correspond à l'accroissement Ax de x est donc
u +- Au u Au-0— Av:u
de D DE A ON AD dl
Divisons par Ax et nous aurons
Au Ae
AR TAN AX Ax (p—+Av)o
ul
Lorsque Ax tend vers zéro, Av tend aussi vers zéro, car admettant une dérivée est nécessairement une fonction continue (n° 22), v + Av a donc pour limite ©
; $ : A? ANS et le dénominateur de la fraction y. a une limite °.
Ax v', le numérateur a donc pour limite (n° 9) w'o — v'u.
ù AU ne Av sv Par hypothèse —— a pour limite w/ et Fe a pour limite D
: A? Vo , Le quotient a, par suite (n° 12), une limite qui est
, Vu—uv 0:
pourvu que v ne soit pas nul.
43. Corollaire I. — La différentielle d'un quotient est une fraction ayant pour numérateur l'excès du produit de la différentielle du numérateur par le dénomtnateur sur le produit de la différentielle du dénominateur par le numérateur, et pour dénominateur le carré du dénominateur du quotient proposé.
Soit u U—= — I ae an | (1) on a L u ) vdu — udv d adm ra o DA
En effet, y a pour dérivée :
, vu—uv!
multipliant par dx on a
= ou'dx— uv'dx y'dx = RE eux
ou
DA Un
dy = me 44. Corollaire II. — Toute puissance entière et négative d'une fonction qui admet une dérivée ou une difjérentielle, admet aussi une dérivée ou une difjérentielle donnée par la même règle que pour la puissance positive (n° 41). | En d'autres termes si
etiSi m0, ON a:
PESER m—1,,/ DER AUDE (a) ol y = USA | (2) Posons m7 — — 1m, m' étant positif on a Pa A ea ve —, ND ETES JE URSS
En appliquant la règle de dérivation d’un quotient (n° 42) et remarquant que le numérateur est constant, On à :
