ME Ÿ ES U

On à

et

(‘) La fin de ce paragraphe imprimée, en caractères plus fins, n’est pas professée à l’Ecole des Beaux-Arts.

Il suffit de prouver le théorème pour la dérivée. Donnons à x, un accroissant Ax et soit Au l’accroissement correspondant de x. On aura :

Ay = Vu + Au — Vu.

Pour transformer cette égalité, nous nous servirons de l'identité bien connue :

ZM çmM — (z — c) RARE + cz 2 czm—s CT + en — |

qui s'écrit :

zm ras. en

PMU Te gi em 2 LE cizm—s .+em—1 . SC rE LMI TRES RU Dans cette identité remplaçons 3 par yu<+Au et c par

n ‘/u et il vient :

Au An — - US + V(u + Au} —t EL Vu (u + Au)" T2 + Vu? (u—Au)ÿn—S LE... L'un —i Divisons les deux membres par Ax et nous aurons : Au A | Ax

TT meet Wuçu + du)" =? + Vu (u + Auÿr SH... +Y an

Lorsque Ax tend vers zéro, le numérateur tend vers u/, cha-

cun des termes du dénominateur a pour limite (WU et,

4 5 . ° . PARLER comme il y en a #7, le dénominateur a pour limite LILAS

7 a donc bien une limite qui est :

mt Vu — 1 :

48*. Définition. — Etant donnée une fonction w de la variable x et une fonction y de la variable w, y est dite fonction de fonction de x.

RE 7 = I à à Ainsi, Vu, u*, — sont des fonctions de fonction. u

49*. Théorème VI.—- St y, considérée comme fonction de la variable u, admet une dérivée par rapport à u, et si u, fonction de x, admet une dérivée par rapport à x, y, fonction de fonction de x, admet une dérivée par rapport à x qui est le produit des deux précédentes,

Désignons par y!, la dérivée de y par rapport à u et par u!. la dérivée de w par rapport à'x. |

Donnons à x un accroissement Ax et soit Au l'accroissement correspondant de w. À cet accroissement Au de uw correspond pour y un accroissement Ay.

Or on a évidemment :