ALPINE
; 6 Au "ER ” Faisons tendre \x vers zéro. FU aura pour limite uw’, et Au
4 À Ay LEE” tendra vers zéro. Il s’ensuit que 7, aura pour limite ar
D a) 4 e limite désig l ‘et qui onc- à une limite , que nous désignerons par y! et qui
: x ! / est égale à y,.u, :
Hs PEN Jr — Ju Urs 50*. Corollaire. — La différentielle d'une fonction de fonction a la méme forme que st la variable dont elle dépend immé-
diatement était indépendante.
On a, en effet,
dy =Ÿ,, dx, or, ve donc dj =Tourde; et comme UE At, on à, par suite : dy =, du:
La différentielle est donc égale à la dérivée de y par rapport à u multipliée par la différentielle de w. Cette différentielle a donc bien la même forme que si w était une variable indépendante. |
DÉRIVÉES DES FONCTIONS SIMPLES 31 51*. Remarque, — Le corollaire précédent ne s'étend pas aux différentielles d'ordre supérieur au premier. Soit É Y — f{u),
u étant fonction de +, on a :
dy = f'{u) du.
Prenons la différentielle des deux membres. Le second membre est un produit de deux facteurs, /’{u) et du. Le premier f’(u) est une fonction de fonction, sa différentielle est donc f/{u) du. La différentielle du second est d'u. On a donc :
d?y = f'{u) du? + f' (u) d?u.
On voit que la forme diffère de celle où « est la variable indépendante. Ceci tient à ce que la différentielle seconde de la variable indépendante est nulle (n° 32).
Si TRES ON à : DU CLS O0 et la formule précédente devient :
dy = f"(x) dx?.
52. Dérivée de x”.— La dérivée de x" est mx" —", m eélant un entier posilif ou négatif.
On sait (n° A et 44) que HS TRUE ue (1)
Posons u — x. La dérivée de x est égale à 1 et l’égalité (1) devient
Ce) ÆS mx" —1 à
32 COURS DE MATHÉMATIQUES Différentielle de x”. — On sait aussi que dut = UNE
En posant u—x,;ona
dx" = max" 'dx.
ExempLes. — Soit Y —=/#", on a : À see dy ML dr De même, soit Arr : HART GE On à : NET Em NT À Ë I Soit encore YV=—., Fr, I I . — — (y AN — = 91 — on a : LE PEUT = — x ?=—— 3 -) (x?) TT J 2 ?
/ I 2 UE CES NS SR On a : = ([—) —=(x = — 2XT I = — — =) 600 .
a pre Enf ; Ut nhn, SOI Jar !
I 3 . = RU EU) RE perce on à : SAN = — 3x *=— — dy = ——- dx
53. Dérivée de Ax”.— En appliquant le théorème du n°27,.la dérivée de y = Ar est
RENAN a
quel que soit 7», entier positif ou négatif.
ExempLes. — Soit y — 4x7 on aura :
dy Ab PES E ES SES 6 Te SOA:
dy — |A PERS 5 RE HD 2 PE 4 ee V4 —7040 2} Soit encore dé D Ba ; LACS SPC ROUE D) FUIT DRE x? ?
d?y ke v' 4 re x. ?
LCA 0 2 y" RES 12 FPE #
04. Derivée d’un polynôme entier. — Tout polynôme entier en æ est une somme de termes de la forme Ax?. Or la dérivée de Ax? est pAzx ‘(n° 53). La dérivée du terme constant est nulle. La dérivée du polynôme est la somme des dérivées de chacun de ses termes (n° 37). On en conclut donc la règle suivante :
La dérivée d'un polynôme entier en x s'obtient en
. multipliant chaque terme par l’exposant de x dans ce
terme et diminuant, ensuite, l’exposant de x d'une unité.
Cette règle peut encore s'appliquer au terme constant, qui peut être considéré comme contenant x à l’exposant zéro. \
ExEmpLes. — Soit F=xt— 5x + 6x +7,
BourLer. Cours de math. 3
dy
dx
Soit encore,
On a dy —— — 1820 — 10 x + 45 x? — 7.
Fe 18 I + 4 o 55. Produit de deux polynômes.— Sachant calculer
la dérivée d'un polynôme, nous obtiendrons la dérivée d’un produit de polynômes (n° 89) en appliquant la formule
(uv) = uv! + vu’.
EXEMPLES
y = (+2 +1) (x—3), on a dy ; De (a? Lx x) 1 Ho x + x) (x —3), u = 3x — 4x — 2 dx 56. Dérivee d’une fraction rationnelle, — Une
fraction rationnelle étant le quotient de deux polynômes entiers, puisque nous savons calculer la dérivée d’un polynôme, nous obtiendrons, de suite, la dérivée de la fraction en appliquant (n° 42) la formule
U } u'0 uv!
