D BL

AM CRIME The posons LI =NOT d’où am = Yu.

On a donc, en appliquant la règle du n° 47,

dan — DATE q q—1 © q v ut

Or AU pal de

et RTE = € 8 LR n à er à

(‘) Toute la fin de ce chapitre ne fait pas partie du cours professé à l'Ecole des Beaux-Arts. Elle suppose que le lecteur a des connaissances g assez complètes en trigonométrie rectiligne.

(?) Nous supposons ici que le lecteur sait ce qu’on entend par puissances à exposants fractionnaires et négatifs.

Ce SI

on en conclut

>) — 1 , D — À > HAE px! dax = pai q PTE pq — D qx q et, enfin, P D LAS À LR LT Er 1—D+— DES Je x 1 dx, q : q P « 27” , Comme Se m, ceci s'écrit

deb mie Lx,

ce qui est bien la formule annoncée.

Dans le cas où »2 est fractionnaire négatif, il suffit de recommencer la démonstration faite au n° 44.

EXEMPLES

2 ? 1 ee 2 = —1 MoN es 2 dx ARE TS dx = —x CLR .

She 4 1 J D | Fe, 5 4 Vas = dat == gs dr x ide yxdx; Â 4 4 Î I — — 4 — — 4 dx d Tree An An dx = xt ? 3Vx!

58‘. Dérivées des fonctions circulaires.— Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon égal à 1, sur lequel un sens positif de parcours est défini.

Etant donné, sur un cercle trigonométrique, un are x, positif ou négatif, on définit, en trigonométrie, le sinus, le cosinus et la tangente de cet arc. À toute valeur de x correspondent donc des valeurs bien déterminées du sinus, du cosinus de la tangente. Ces trois quantités sont donc des fonctions de x; ce sont ces fonctions qu'on appelle fonctions circulaires, et dont nous allons calculer les dérivées.

59*. Lemme. — Le rapport d’un sinus à son arc tend vers 1 lorsque l'arc tend vers zéro.

On admet implicitement dans cet énoncé que l’unité d'are est l'arc dont la longueur est égale à celle du rayon. Soit donc + un arc. Il s’agit de prouver que Ù sin x Ho —— — 1, TL quand x tend vers zéro.

Supposons d'abord l'arc x positif. Puisqu'il tend vers zéro

— . Soit, alors, AM cet arc (fig. 1). Abaissons de M la perpendiculaire MP sur le rayon OA et prolongeons le rayon OM

jusqu'en son point de rencontre

nous pourrons le supposer plus petit que

T T'avec la tangente en À au cercle.

Le rayon OA étant pris pour unité OPUS et l'arc x étant compris entre o et

——, toutes les lignes trigonométri- 2 LŒ

ques sont positives et on a :

MP sin 2

Fibre.

AE = tata"

Or, si on compare les aires des deux triangles OMA et OTA à celle du secteur OMA, on a, manifestement :

are tr. OMA < aire sect. OMA £ aire tr. OTA

= MP x OA<Z arc AM x OA< © AT x OA.

« 2 ci}

ee 1 PE Divisons les trois membres par LA OA, et il vient :

MP <'arcAM<AT, ou MALE L'ART ou encore

sinx<x< SMX cos x ?

puisque, comme on sait,

Divisons les trois membres de la dernière inégalité par sin x et il vient finalement,

sin | cos X

Ceci posé, faisons tendre x vers zéro, par valeurs positives : cosæ qui est égal à OP {fig. 1) tend vers r, car M tend vers

| | ra à Aretpar suité OP'tend vers OÀ —r ; DOTE tend aussi vers

De — qui est Compris entrer et. ——— à sinx d P COS æ D'hranc limite 1.

Supposons, maintenant, æ négatif, Posons | L=— x æ! sera positif. On a, d’ailleurs, "JR D DR PTT LT en SovSnt d0 —siwx sinx

Or, quand x tend vers zéro par valeurs négatives, x/ tend

vers zéro par valeurs positives, donc = tend vers 7. La

quantité ui lui est toujours égale à aussi pour liq nos di 5 | rt Fi miterr.

| FACTURE : . sin # ass I 12 fe NO LIEN OO Iuversé-——— 4 Dour limite — 1 sin Æ | x T One.

ME 69*. DÉRIVÉE DE sin x. — La dérivée de sinx est cosr. Soit | Fe Ra Ti sinx.

Donnons à x l’accroissement Ax, y prendra l’accroissement :

Ay = sin (x + Ax)—sinx.

Transformons, en appliquant une formule connue de tri-

gonométrie :

MAR Ay = 2sin—" cos (x+

on en conclut :

Ax AX 2 . + AX SES 2 , . S Quand Ax tend vers zéro, le rapport Tee d'un sinus à É 2

: AGE son arc tend vers 1, d’après le lemme ; cos (x +=) tend vers ° 2 cos zx et, par suite, On à :

Et AT Jim PU Ve COS Na On a donc d (sin x) = cos x dx.

64*. DÉRIVÉE DE cos x. — La dérivée de cosx est — sin x. Soit

y = COS x.

Donnons à æ un accroissement Ax, y prendra l'accroissement : | Ay=tos (x + Ax)— vost.

ou, d'après une formule de transformation connue,

AA Ar, AY=—2sin— sin (e+ #) :

On en tire :

Dis RL

DÉRIVÉES DES FONCTIONS SIMPLES 41 + est le produit de deux facteurs. Quand Ar tend vers zéro, le premier tend vers — 1, le second tend vers sin +. Donc ei a une limite qui est

Vo + six.

On a donc aussi :

d (cosx) de Si TL dE,

62°. — DÉRIVÉES DE tang +, cotang +, séc x, coséc x.

AS I ; 1°/a dérivée de tangx est ——— ou 1 + tang°r.

cos?x On a, en effet.

sin x

tangx de COS À

Pour avoir la dérivée de tang x, il suffit donc d'appliquer la règle qui donne la dérivée d’un quotient (n° 42). On a donc :

dx cos 2? x éos? x

2° La dérivée de cotangx est —

ou — ( —- cotangér ) :

sin<x On a :

cos x COLA EL QE + ENST Donc :

. d cos x d sin x SRE COS de d cotang x dx AT dx OA sin? x TS d'où, d'cotang x = sin? TX — cos? x I ge RE DUR = ee nee 1] — cotang? rar dx sin? x sin? x sin æÆ

3° Za dérivée de séc x est — .

cos? x

En effet, = I «1:

SéCL = —=:(C08 x) , cos x d séc x oldicos t —— = — (cosx) . - , —— + (cos x) dx dx d séc x sin x dx | cos? x Nage É cos 4° La dérivée de coséc x est — ———.

sin? x Car on a :

À I ! Se COSÉC À == — ES TEAM SLT Donc d coséc x 1 Lot d SIRT d he — © — (sin #) 7 ————— {sin x dx dx d cosée x cos x dx x sin? x

63*. Appcrcarrons.— Calculer la dérivée de

Ye Posons HS MURS HUE

y est donc une fonction de fonction (n° 49°). Par suite,