AY I
PET — loga (1 + à),
or, d’après les propriétés des logarithmes (no 77°)
— loge (1H a) = log, (1 +a)" ;
donc :
Cela étant, lorsque Ax tend vers zéro, « tend vers zéro,
1 1 (1 + a) tend vers e et, par suite, log, (1 + à,“ a pourlimite log, e, en admettant que le logarithme est une fonction contisx
aure 1 nue. —— a donc pour limite — ]og.e et on a :
Ax P x °6a
car loge — Tr:
En effet, on a, par définition du logarithme, CRE
Prenons les logarithmes des deux membres de cette égalité dans le système de base a et il vient, en vertu de la troisième propriété (n° 77°),
La. loge = logs arr
logs e — ES
nie fac I $ En particulier, la dérivée de Lx est —— Car si la base a est
On à :
GÉ Be HP ENCIQIE L dx EUX dr or, Der, donc NE 2 1 0e TE 80*. APpzrcations. — Soit w une fonction de x, et soit FR:
y est une fonction de fonction et on a
du
- Ainsi, si on prend u x + a, dx d L (x + a) Ps a +a'
Calculons la dérivée de | y=L{r+Vae +].
Posons Uu—=X + x? + #.
On a du dx, rs [: F rt L F x - 2
du —= = Verte
D'ailleurs, puisque j'en RTE
A RE 0 PU 20. D % + Sr: ; À à dd; À
54 COURS DE MATHÉMATIQUES On a : | du dy —— pr .
Donc :
x + x? —+ X d Va + k dx Res 2e — x +Va? FE Va HA dy I
Ce dernier exercice est fort important pour le calcul intégral.
81". Dérivée de la fonction exponentielle. — a étant un nombre positif appelé base et x un nombre quelconque appelé exposant, si on écrit l'égalité.
VE at
on fait correspondre à tout nombre x un nombre y qui est une puissance d'exposant x et de base a. On a défini ainsi une fonction y de la variable x qu'on appelle la fonction exponentelle,
82*. DÉRIVÉE DE a°. — En admettant l'existence de la dérivée de a nous allons la calculer.
Posons :
| Ne (1) on en déduit (n° 76”).
l0piY = x. (2}*
Prenons les différentielles des deux membres de l'égalité (2), il vient :
d > . loga e — dx d'où
CNRS GE der TRE = La,y.dx;;
dt. lu Le CRÉENT Re AS |
ou, en tenant compte de l’égalité (2),
dy z | SUR ar pE ax La, dx loga e
loge ”
car La —
La dérivée de a* est donc a* La.
En particulier, la dérivée de e* est e*; car det dx
nier Le='et; puisque Le — 1.
83*. Arpcicarions, — Calculer la dérivée de e”, > Y—.E"
die cdi et 2x.dx,
d - __… — et 2%, L4 hd » 4 Calculer La dérivée de a’.
Soit Hu
dy — at La;de'— a’, La;4x* dx,
dy
eux a La.
dx Calculer les dérivées de e7 + et.
Soit Varére-en
On a :
dy = et dx te-:d(—x)—{(et — et) dx,
EI d?y = [et dx —e-2d(—x)] dx — (et +e-*) dx?
RE
IR NE PS ns
