CROISSANCE ET DÉCROISSANCE

Donnons à x un accroissement Ax assez petit pour que æ + Ax soit compris entre a et b; il en résulte pour y un accroissement A7.

1° Si Ax est positif, la valeur finale x+Ax est plus grande que la valeur initiale x, dont x a augmenté, il doit en être de même pour y et par conséquent Ay est positif. Le numérateur et le dénominateur de la

fraction a, étant positifs, la fraction est positive.

2° Si Ax est négatif, la valeur finale x + Ax est plus petite que la valeur initiale x, donc x a diminué, il en est de même pour y et par conséquent Ay est négatif.

RSA AT k Les deux termes de la fraction 7 étant négatifs, la fraction est encore positive.

Ay eue re Ay Dans les deux cas, —Z est positif. La limite de —Z AX Ax est nécessairement positive ou nulle, elle ne peut pas être négative.

On a donc :

87. Théorème II. — Siune fonction est décroissante dans un intervalle, sa dérivée, si elle existe, est négaiive ou nulle pour toutes les valeurs de la variable comprises dans cet intervalle.

Considérons une fonction y de variable x, supposons que x ait une valeur comprise entre a et à et que la fonction soit décroissante dans l'intervalle (a, D).

Donnons à x un accroissement Ax assez petit pour que æ + Ax soit compris entre a et b. A l’accroissement Ax de la variable correspond un accroissement Ay pour la fonction.

1° Si Ax est positif, la valeur finale x +Ax est plus grande que la valeur initiale x, donc x à augmenté, la fonction y a donc diminué et par conséquent Ay est négatif.

Het , Les deux termes de la fraction KT étant de signes

contraires, la fraction est négative.

o° Si Ax est négatif, la valeur finale x + Ax est plus petite que la valeur initiale x, donc x a diminué, la fonction y a augmenté et par conséquent A7 est positif.

AY

Les deux termes de la fraction ie étant de signes

contraires, la fraction est encore négative.

Dans les deux cas LT est négatif.

LC :

PREe AY UE La limite de est nécessairement négative ou

nulle.

On a donc