CD VAE

Le volume d’un parallélépipède est égal au produit de sa base par sa hauteur. Le volume du parent pède ABCDA'B'C'D' est donc égal à

Ne 2xl RE . (1)

Pour avoir le maximum de ce volume, prenons la dérivée de V

AY — 5 9% Te = 2] VE Ur er | ou, en simplifiant dv R°—922 ——— — 0! ÿ dx (RE

sn el à de à :

OT EN ON TE PO TT AO ADR ENT Dr V9, à

APPLICATIONS 71 Egalons cette dérivée à zéro, et nous avons

d'où : R (Dame A, R TL —=——Ss ’ \/2 en ne prenant que la valeur positive de «.

. R Le A , La Ÿ 9 Mais — est la valeur du demi-côté du carré ins-

RUE crit dans un cercle de rayon R.

Donc le réservoir maximum sera celui dont la face ABCD est le demi-carré inscrit dans le demi-cercle de rayon R.

100. Exemple III. — Étudier la variation de la fonction RE — 1 AT Gr rare Nous suivrons, pas à pas, la marche indiquée au n° 97. | 1° Nous voyons que y est bien déterminée sauf

pour les valeurs qui annulent le dénominateur, qui sont les racines 2 et 3 de l'équation

gt —5x + 6 —=0, 2° La dérivée de la fonction est :

Cas EN Den ON LA He EM 1 FT MR re pen

dy

2 s’annule dx

3° Les valeurs de x pour lesquelles

Lie au 4,

7à COURS DE MATHÉMATIQUES

sont les racines de l'équation A? — 2% — 1 —0 c'est-à-dire

Pour les valeurs de x comprises entre 1 —(\/2 et

dy dx

à son premier terme, donc positif, et

est du signe contraire

dy dx ne Pour les valeurs de x plus grandes que 1 + V2 ou

D V2 le numérateur de

est positive.

plus petites que 1 — (/2, le numérateur de la dérivée est du signe de son premier terme, donc négatif et la dérivée est négative.

4 Les valeurs remarquables de zx rangées par ordre de grandeur croissante sont donc, en y comprenant la valeur 1 pour laquelle y est nulle et la valeur o,

1—V/2<o0<1<2-u-pV/2 8

> Nous pouvons donc dresser le tableau suivant dans lequel nous marquons deux barres en face de > et 3 pour indiquer les discontinuités, et dans lequel

: dy :

nous inscrivons les signes de conformément dx aux résultats donnés plus haut.

La fonction s’annule pour x — 1.

Elle prend la valeur — —— , pour x—0o. Nous indi-

quons ces deux valeurs particulières.

— décroit re à TA LP —— V2 (e) min. — 4 + 3 V2 an croit à I + croît PET nl el ET Me Le O —- croît + co — + croît NS 5) I + V2 (e) TA .

ne décroit 3 se Mes —+ ss décroît — co (e)

6° Nous calculons les valeurs de y pour le maximum et le minimum.

. Pour x = 1 — \/2 , y est minimum :

Quand x passe, en croissant, par la valeur 2, 4 croît indéfiniment en valeur absolue. Le numérateur a la valeur r, le dénominateur s’annule en passant

du positif au négatif. y passe donc d’une valeur très grande et positive (—æ) à une valeur très grande en valeur absolue mais négative (— ).

Quand x passe, en croissant, par la valeur 3, 4 passe de — æ à +, car le numérateur a la valeur positive 2 et le dénominateur d’abord négatif, s'annule en devenant positif.

Enfin, pour avoir la valeur de y pour x=æ+, divisons les deux termes de y par æ°. On a, alors,

UE

re J

Sous cette forme, on voit que, lorsque x croît sans limite, le numérateur tend vers zéro et le dénominatee O teur tend vers 1. La limite de y est donc — — o. En résumé, la fonction part de zéro, décroît jus- 4+3 ae qua +, pour x — 2. Elle passe RU de 3V3—4 pour décroître à — «©, pour x = 3. Elle saute brusquement de —æ à + x etdécroit enfin pour revenir à la valeur initiale o.

qu'au minimum , pour croître ensuite Jus-

+ © à — x, croit Jusqu'au maximum —

101. Théorème (!). — x étant un arc positif quelconque, l'unité d'arc étant l'arc dont la longueur est égale au rayon du

(‘) Ce théorème peut être utilisé lorsqu'on a besoin de valeurs approchées du cosinus ou du sinus pour de petits angles ou de petits arcs. On s’en sert, par exemple, en construction, dans la théorie des pièces chargées de bout (Voir : BRUNE, Cours de Construction, p. 184).

RE ORNE PE PE ET T0 D TOR En en De Re OA Pen PR ù ". 1 "iY CE pa L we L ‘

cercle, on a les deux inégalités suivantes :

1 — + — D éos xD I — — + — — : (x) 2 24 2 24 720 et F1 { x x Li CSN TL SX 1 2 6 6 ue 120 @) Considérons en effet la fonction x? x" x Rs — COS LE J 2 24 720 Prenons ses dérivées successives :

3 5 x x £ = — ZX SIRET ) + + sin x, b] L, U= X* ne À OR GERS St cos ZX, J SRE me hi = J"=x ————sinx, Fetes — COS X, YŸ— — x +sinx, JV — 1 + cos x

Comme un cosinus est toujours plus petit que 1, en valeur absolue, on voit immmédiatement que yY!esttoujours négative. La fonction yŸ est donc toujours décroissante, puisque sa déri- Yéc/iHiest ge éstnésative-c0r, pour x —0, on a y*— 0; par conséquent, lorsque x croît à partir de zéro, yŸ décroît à partir de zéro. Il en résulte que yŸ est négative pour toutes les valeurs positives de x.

y" étant la dérivée de y!Ÿ et étant négative, on en conclut que y", à son tour, est décroissante quand x est positif. Or, pour x=— 0, on a encore y V—0; donc, lorsque x croît à partir de zéro, y décrott à partir de zéro. y" est donc aussi négative pour toutes les valeurs positives de x.

On continuera ce raisonnement de proche en proche.

La fonction y” dont la dérivée y'V est négative est décrois-

sante et, comme elle décroît à partir de zéro, elle est négative, et ainsi de suite.

On voit donc que, pour toutes les valeurs positives de x, les quantités y, y', y", y"!, y, yŸ, y"1 sont toutes négatives, car toutes décroissent à partir de zéro.

En particulier, ona

VOTE SCO

c’est-à-dire

2 . 6 x x* x I — + — — — COS X <'O, 2 24 720 et x? + MONET See MN D'où ontire 2 2 6 x x* x I — — — — <T cos x 2 24 72 et 3 , x xX* COS X LI — — —— s Sn: my

ce qui démontre la double inégalité (1).

De même, les inégalités

ÿ << le) et L'u Ta 0

DE Ls s écrivent :

= + — — — + sinx<o ne 6 120 + <

et æ à x — RE sin << \0:

d’où on tire :

3 3 , x x SIN XL TX — — — 6 120 et MENT KESInv,

ce qui prouve la double inégalité (2).

102*. Corollaire. — x étant un arc positif, mesuré en prenant pour unité d'arc celui dont la longueur est égale au rayon,

est une valeur approchée de cos x, par excès avec une erreur

plus petite que Po et

est une valeur approchée de sin x, par défaut, l'erreur commise étant plus petite que —— HER LÉCRSS

En effet, l'inégalité (1) prouve que la différence

x? 24 Ti — COS TX > 24 L 2?

est positive et plus petite que Fr

De même l'inégalité (2) prouve que la différence

est positive et plus petite que =.

103‘. Remarque. — On peut donc poser

D] L x? x" COS T = I — — — — 6, 3 Ta 7 (3) avec CRE à et aussi Sn L=X— te, (2) avec Der,

lorsque x est positif.

Ph

De l'égalité (3) on tire :

Pre O ET El Le £ # ‘Te 24 L?

avec € x* OL — :

, £ s sac 3 Quand x tend vers zéro, > qui est compris entre zéro et

un nombre qui tend vers zéro, tend vers zéro; — tend aussi

vers zéro. Il s'ensuit que :

I — cos #15 . . I 4 ; a pour limite — quand x tend vers zéro.