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un sens de parcours, ditsens positif. Ainsi(fig. 6) xx est un axe, le sens du parcours étant de x! vers x.

À e5 TA RÉRES RESRAN A à à De À

Nous indiquons par une flèche le sens positif de l’axe.

4 4 “i ? 7 à n fe # On appelle mesure algébrique d’un segment porté par un axe, un nombre qui a pour valeur absolue la longueur du segment et qui est précédé du signe (+) ou du signe (—) suivant que le sens du segment est le sens positif de l’axe ou le sens contraire.

ÉlvT,

Ainsi, le segment AB (fig. 5) a pour mesure algébrique + AB ; le segment CD a pour mesure — CD.

Pour désigner la mesure algébrique d’un segment on écrit les deux lettres qui nomment ses extrémités et on les surmonte d’un trait horizontal.

Ainsi AB désigne la mesure algébrique du segment AB.

107. Remarque I. —La mesure algébrique du segment AB et la mesure algébrique du segment BA sont évidemment deux nombres égaux et de signes contraires. On a donc :

AD Dao, Ur)

108. Remarque II. — Dans la suite, pour éviter des longueurs de discours, il nous arrivera fréquemment de dire brièvement le segment au lieu de {a mesure algébrique du segment. Nous ne le ferons d’ailleurs que lorsque cela ne pourra donner lieu à aucune ambiguïté.

109. Théorème de Chasles,— Étant donnés (fig. 8) sur un axe un certain nombre de points, À, B, G, D,

BourLerT, Cours de math, 6

DÉPOT MU “Or RE et ER Dee es A RTE RE T Po En Per cd or <! es NU QT Lt enr PRE ts At, ts AE paies LD ef ee ;

E, on a, entre les mesures algébriques des divers segments déterminés par ces points sur l’axe, la relation suivante :

AB BC-ECDÉPDEÉCC EAN

Le théorème étant vrai pour deux points, en vertu

de la Remarque I qui précède (n° 407), prouvons-le pour trois points. Soient À, B, C, trois points sur un axe, il faut montrer que l’on a :

AB+BC+CA—0o (x) ou, ce qui revient au même, BC + CA + AB—o (2) ou, encore, que CA + AB +BC—0. | (3)

Or, l’un des trois points A, B ou C est certainement situé entre les deux autres. Si B est entre A et C, nous établirons la relation (1). Si C est entre B et A, nous prendrons l'égalité (>). Si A est entre C et B, nous démontrerons l'égalité (3).

Dans les trois cas la démonstration est la même.

Prenons le premier, et supposons (fig. 9) B entre A et C,'on aura :

les signes supérieurs ou inférieurs se correspondant.

Fig. 9.

En ajoutant membre, à membre, ces trois égalités, on a

AB BC LCA +H (AB 1 BC AC): (4) Or, comme B, est entre À et C, on a AC — AB + BC d'où AB + BC— AC—o

et, par conséquent, la parenthèse de l'égalité (4) est nulle et on a bien :

AB + BC + CA = o.

La proposition est donc vraie pour trois points, nous allons voir que si elle est vraie pour (m — 1) points, elle est vraie pour m points.

Supposons, par exemple, la proposition vraie pour cinq points et démontrons qu'elle est vraie pour six.

D'LA. B E DANGER z

Fig: 10.

Soient (fig. 10) cinq POSE EN CRDS ER ONa, par hypothèse, entre ces cinq points, la relation

AB + BC + CD + DE +EA — o. (1).

Prenons un point de plus F et considérons les

D AE OU tt D des: Sa AE RE * PILE Ye

VAE net à jte De Se MER Ar OU AN LME - OR { VA M pre

trois points À, E, F ; entre ces points on a, comme nous l’avons démontré, larelation

AE SSEp AAA AU (2)

Ajoutons les relations (1) et (2), et il vient : AB+ BC+CD+DELEA LA PERD Mais, entre les deux points A et E, on a la relation

(n° 107) EA + AE — 0,

et la précédente devient alors, en simplifiant, AB BC + CD LDE RER ETS

Donc la proposition vraie pour (m— 1) points est vraie pour 72 points.

Elle est donc générale; car étant vraie pour 3 points elle l’est pour 4, étant vraie pour 4 points elle est vraie pour 5 ; et ainsi de suite.

110. Corollaire. — La mesure algébrique de la résultante de plusieurs segments portés par un axe est égale à la somme des mesures algébriques de ces segments.

Considérons (fig. 8) les segments AB, BC, CD, DE, portés par un axe «x, et leur résultante AE.

Entre les cinq points À, B, C, D, E on a (n° 1409) la relation

AB LBCE CD AH DE LEA ajoutons AE aux deux membres, il vient :

AË—AB 4 PCA CDEUDE + EA ARE

Or (ne 407)

EA + AE— 0, par suite, AE — AB + BC + CD + DE.

Ce qui démontre le corollaire, le premier membre étant la mesure algébrique de la résultante et le deuxième membre étant la somme des mesures algébriques des segments.

411. Application.— Etant donnés un axe xx et un point O appelé origine des abscisses, on peut définir la position d’un point M situé sur l’axe x'x en se donnant la mesure algébrique du segment OM

(fig. r1).

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En effet, dès que cette mesure algébrique est donnée on connaît M. Ainsi, si on donne OM — 3, cela veut dire qu'il faut porter la longueur 3 à partir de O dans le sens positif. Si l’on avait OM=—— 5, on porterait la longueur 3 dans le sens négatif.

Le segment OM est ce que l’on appelle l’abscisse du point M.

Fier,

Ceci posé, considérons un segment AB porté par unpaxel (fig. 12):

Le théorème de Chasles donne Mais

donc

Cette relation est très importante. Le segment OA est l’abscisse de À, le segment OB est l’abscisse de B et la relation peut s’énoncer ainsi :

La mesure algébrique d'un segment, porté par un axe, est égale à labscisse de l'extrémité diminuée de l’abscisse de l’origine.

Et cela, dans tous les cas, indépendamment de la position des points.

112. Projections, — On appelle projection orthogonale d'un point sur un axe, le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur l’axe.

On appelle projection d’un segment sur un axe, le segment qui a pour origine la projection de l'origine et pour extrémité la projection de l'extrémité du segment donné.

Ainsi soit le segment AB (fig. 13); sg.ab est la pro-