Notation. — Une fonction de la variable x se

représente souvent par un symbole tel que f(x), ce quise lit f de x.

On appelle valeur numérique d’une fonction, la valeur qu'elle prend lorsque l’on donne à la variable une valeur particulière.

Pour désigner la valeur numérique de la fonction f (x) pour une valeur particulière de la variable, on remplace, dans le symbole, x par cette valeur. Ainsi f () désigne la valeur numérique de f (x) pour x = 1.

ExemepLzes. —Considérons la fonction l'H=PTEENE BOUT, ONa pr ot,

3 est la valeur numérique de la fonction y pour x = 1. Si on désigne cette fonction par f (x) au lieu de y, on écrira :

Anse

f(a) signifiant que, dans la fonction f (x), on a donné à la variable x la valeur 1.

Soit encore la fonction

7 ne À (x) Pr FOUT L'— 0/-on 4 OR 1 f(o) ER ARS pour 4 —1,0ona À RMeonreaeé d O fu) I+I FT pour &æ ——2,0na —1 3 — 9)2Z —— = — fase $ 2. — NOTIONS SUR LES LIMITES

6. Définitions. — On dit qu'une quantité y qui dépend de la variable x, a pour limite b, lorsque x tend

vers &, Si on peut donner à x des valeurs assez voisines de la valeur & pour que les valeurs correspondantes de y diffèrent d'aussi peu qu’on le voudra de la valeur 0.

En particulier, on dit que y a pour limite b lorsque x tend vers zéro si on peut donner à x des valeurs assez petites pour que 7 diffère de b d'aussi peu que l'on voudra.

ExempLze. — Soit la fonction = x? + 1. (1)

Quand x tend vers 0, y tend vers 1.

En effet, on a :

Pour que y — 1 soit plus petit que ,ilsuffit que x soit plus

petit que

, en valeur absolue, car son carré x? sera plus petit

> TE \4 I que (=) ou — et on aura

JY—iIZ= a < é t 100 O it, d : l l i ; n pourrait, de-mème, rendre ÿ == "1" plus pEINQUES . 5 re Le:

Donc y tend vers 1, quand x tend vers zéro, puisque y peut différer d'aussi peu que l’on voudra de la valeur 1 pour des valeurs suffisamment petites de x.

1. — On dit qu'une quantité croit indéfiniment, si elle peut, en valeur absolue, dépasser tout nombre positif si grand qu'il soit.

Lorsqu'une quantité croit indéfiniment, elle peut le faire de deux facons : soit en étant positive et on dit alors qu'elle croit indéfiniment par valeurs postlives ; soit en étant négative et on dit, alors, qu’elle croit indéfiniment par valeurs négatives.

Pour représenter un nombre très grand en valeur absolue, positif ou négatif, on emploie souvent les symboles abrégés + oo où — .

| è ; I Exempze. — Soit la fraction y = ——. Lorsque x tend vers o elle z

croît indéfiniment. Pour cela, il suffit de montrer que y peut dépasser en valeur absolue tout nombre positif si grand qu'il soit; par exemple que y peut être plus grand que 1 000 000. Or, si on prend :

Valeur absolue de x <<

1 000 000 on aura bien :

Valeur absolue de ÿ > 1 000 000.

Si + est positif, y sera positif; donc si x tend vers o par valeurs positives, y croît indéfiniment par valeurs positives.

Si x est négatif, y sera négatif; par suite, si æ tend vers o par valeurs négatives, y croit indéfiniment par valeurs négatives.

8. Proprietes élémentaires des limites, — Les limites jouissent de certaines propriétés que nous ne ferons qu'énoncer (!).

9. 1°° PROPRIÉTÉ. — S1 plusieurs quantités ont séparément des limites, leur somme a une limite qui est la somme de leurs limites.

10. 2° PROPRIÉTÉ. — Si plusieurs quantités ont séparément des limites, leur produit a une limite qui est le produit de leurs limites.

Exempce. — Soient y et =, deux fonctions de x. Si x tendant vers zéro, y à pour limite b et z a pour limite c, d’après la première propriété, la somme y + = à pour limite b + c et, d'après la seconde propriété, le produit y3 a pour limite be.