PROPRIÉTÉ. — Si dans un produit de facteurs
() Le lecteur désireux de connaître ces démonstrations pourra se reporter s] L x # ’ e e * : 4 9 é à notre Cours d’algèbre élémentaire. (Paris, A. Colin et Cie), p. 512.
un des facteurs croît indéfiniment et qu'aucun autre ne tend vers zéro, le produit croît indéfiniment.
En particulier, toute puissance, à exposant entier et positif, d’une quantité qui croit indéfiniment, croît aussi sans limite.
42. 4° PROPRIÉTÉ. — Si les deux termes d’une fraction ont séparément des limites et si la limite du dénominatleur est différente de zéro, la fraction a une limite qui est le quotient des limites de ses deux termes.
43. 5° PropRriéTE. — Si dans une fraction le numérateur a une limite différente de zéro et que le dénominateur tend vers zéro, la fraction croît indéfiniment.
; À I “ EV Exempze. — Soit la fraction —— dont le numérateur est diflé-
rent de o. Si le dénominateur tend vers 0, la fraction croît sans limite comme nous l'avons vu au n° 7.
414. REMARQUE. — Si les deux termes d’une fraction tendent vers zéro, on ne peut rien affirmer. La frac-
. 3 EE Mn à tion se présente sous la forme indéterminée Te La
fraction peut avoir une limite ou croître indéfiniment. Trouver la limite lorsqu'elle existe c’est trouver la vraie valeur de la fraction.
ExEMPLEs.— Soit
x tendant vers 1, x—1 tend vers zéro; le carré de x, x?, tend vers 1 etx?—1 tend vers zéro. Donc, x tendant vers 1, les deux termes de la fraction tendent vers zéro, il y a indétermination de la
e) forme — .
oO Mais l'égalité (1) peut s’écrire :
ai (æ — 1) (x +)
; TT = x +,
en divisant haut et bas par (x — 1) et lorsque x tend vers 1,æ +1 tend vers 2. Donc la vraie valeur de la fraction pour x = 1 est 2. On a levé l’indétermination, Soit encore PT ee Lorsque x tend vers 1,les deux termes de cette fractiontendent vers RS pese AS (0) zéro, il y a indétermination de la forme — Mais la fraction peut s’écrire (tx—i)(x+ir) x+i7
en divisant les deux termes par (æ — 1). Quand x tend vers r, le numérateur (x + 1) tend vers 2; le dénominateur tend vers zéro, la fraction croît indéfiniment (n° 18).
L'indétermination a été levée.
15. 6° ProPpri£TÉ. — Lorsque dans une fraction le numérateur reste fini et que le dénominateur croit indéfiniment, la fraction tend vers zéro.
, I ; ; Exempze. — La fraction — tend vers zéro quand x croit sans ES limite.
En effet, si on veut avoir
il suffit que l’on ait LA 10000!
c'est-à-dire Valeur absolue de x > 100.
On peut donc prendre x assez grand, en valeur absolue, pour que T : Ë À + . .
soit et reste plus petit que tout nombre donné positif, si petit
qu'il soit.
16. 7° PROPRIÉTÉ. — Si une quantité positive a une limite, la racine carrée de cette quantité admet aussi une limite qui est la racine carrée de sa limite.
