L' = TL, F

Ces valeurs portées dans la relation (7) donnent

Y+y=a RSR ME

LA PARABOLE 123 et, en simplifiant, RM (8)

La courbe représentée par l'équation (8) par rapport aux nouveaux axes Ax’, Ay', est une parabole ayant son sommet en la nouvelle origine A. Sa tangente au sommet est l’axe Ax'; elle sera tournée vers les 7 positifs si «a >o et vers les y négatifs si a <o.

Le théorème est donc démontré dans tous les cas. L'équation

y = ax" + bx + c

représente une parabole à axe vertical, dont l'ouverture est tournée vers les y positifs si a est positif et vers les y négatifs st a est négatif. Les coordonnées du Sommet sont

fr # | Cm 4ac — b?

= ————, CA Aa /

Il est inutile de chercher à retenir par cœur les formules qui donnent les coordonnées du sommet; nous donnerons plus loin {n° 185) un moyen simple de les retrouver dans chaque cas particulier.

152. Remarque, — Connaissant l'équation d’une parabole à axe vertical, il est facile d’en déduire l'équation d’une parabole à axe horizontal. Prenons pour origine des coordonnées le sommet de la parabole, pour axe Oy la tangente au sommet et pour axe Ox l'axe lui-même de la courbe (fig. 44).

Si on compare, alors, ce cas au premier cas du

théorème précédent (n° 150), on voit que l'axe Ox s’est changé en Oy et l'axe Oy en Ox.

Pour passer de l'équation RE A: (1)

représentant une parabole à axe vertical à celle qui représente une parabole à axe horizontal, il suffit donc de remplacer dans cette équation x par y et y par x, ce qui donne :

Fig. 44.

1) 0 HA 453. Exemeze. — L'équation Y= x — 3x +

représente une parabole à axe vertical et dont l'ouverture est tournée vers les y positifs (n° 154).

Coordonnées du sommet. — On a Sr Lib EE re Donc oh b Re 3 ess DONNEES ; Aaë — b° S—, Qi DE aa 4a? ET. 4 re 4 ; ce qui donne le sommet A (fig. 45).

Paramètre. — On a ni 2p D'où I I ve MS ere

L'ELLIPSE ET L'HYPERBOLE 125 Le foyer est donc en F sur Ox, puisque AF

as De et la directrice est la droite DD telle ques FD" =

Fig. 45.

La tangente au sommet A est la parallèle menée par À à Ox

Points où la courbe coupe l'axe Ox. — Pour les avoir, il suffit de faire y — 0 dans l’équation de la courbe et on a

Les racines de cette équation sont

32+V9—8 Sr

La courbe coupe donc l'axe des x au point P de coordonnées 1 et o et au point Q de coordonnées 2 et o.

Point où la courbe coupe l'axe Oy. — Pour x —0 on a ÿ = 2, la courbe coupe donc Oy au point I de coordonnées o et 2.