D ADO

CAO ASE

Fe est donc le coefficient angulaire de l’asymptote OL.

Comme la droite OL passe par l’origine, son équation est de la forme

Yy =— 10.1;

qui devient, en remplaçant 72 par sa valeur —, À 7 RS

LEA qui est l'équation demandée. ; >» Equation de l’asymptote OL. Soit a! l'angle de OL’ avec Ox; les angles & et x’ étant supplémentaires, les tangentes de ces angles sont égales et de signes contraires, de même les coefficients angulaires. Donc

+ b ga ape

L'équation de la droite OL’ est alors

160. Hyperbole équilatère. — Dans l'hyperbole équilatère, l'angle + de l’asymptote OL avec Ox est égal à 45°, on a donc

to a ro et, par conséquent,

—— 1 et: b—=a«.

DL

L'équation (3) de l'hyperbole devient alors

T° 2 2 RL a a et, en multipliant par «°, on a L —Y — = 0, (4)

qui est l'équation de l’hyperbole équilatère rapportée à ses axes.

161. Equation de l’hyperbole équilatère rapportée a ses asymptotes, — Considérons (fig. 50) une hyperbole équilatère et prenons comme axes de

Fig. 50.

coordonnées les deux asymptotes Ox, Oy. Soient Ox', Oy!' les deux axes de l’hyperbole.

RES On a TOME 0

Connaissant l'équation de l’hyperbole équilatère rapportée à ses axes Ox’, Oy’ (4), il est facile, par un

tx

L'HYPERBOLE ÉQUILATÈRE 133

changement de coordonnées, de trouver son équation rapportée à ses asymptotes OX OYy.

Prenons sur la courbe un point M de coordonnées x',y'" par rapport aux axes Ox',07' et de coordonnées x,y par rapport aux axes Ox, Oy.

L'équation de l'hyperbole rapportée auxaxesOx',0y!

est (n° 460)

AP — Yy° — a = 0. N1

Les formules de changement de coordonnées, a étant l'angle de rotation, sont (n°420) :

x —xcosa—y'sina, }

y—=«x'sinat+ycose. )

Ici on a & — 45°: donc ?

COS 4 — SIN 4 — et il vient L = —— y = ——=(x + y).

Multiplions membre à membre ces deux égalités et nous obtenons :

d’où VE ES 01 Ho tt}, (2)

Or, pour tout point de l’hyperbole équilatère, la relation (1) est vérifiée, c'est-à-dire que l'on a

Ces: DU DRE is A 5e Al EM APT, TRE, Fioir # ER et EL ET 70 ee va TE FOND TUE Me 2e", > à * ; È : An re à

en portant cette valeur dans la relation (2) on a done aussi :

DUT LLI HS TT

qui est l'équation cherchée.

Elle est de la forme

K étant une constante.

162. — Réciproquement, une courbe ayant pour équation UY = K°

est une hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes car cette équation est de la forme (3), en posant

On en tire la valeur du demi-axe transverse,

163. Generalisation. — La courbe qui a pour équation AGE D DR NE (4)

où À,.A',B,B' sont des constantes, est une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont parallèles aux axes de coordonnées.

Pour démontrer cette proposition, nous distinguerons deux cas.