RES

se = * ALOE

11. Théorème, -- Tout polynôme, entier en x, croit indéfiniment en même temps que x et, pour des valeurs suffisamment graides de x, il est du signe de son terme

de degré le plus élevé.

Soit, par exemple, le polynôme

y—= ax + bx + cx + d,

a; b, c, d étant des nombres fixes.

Mettons ax° en facteur, nous aurons, après simpli-

fications,

D C d VEUX AA 4 Rp.

Ÿ ( TT ax? )

ax

Lorsque x croît indéfiniment, les trois derniers termes de la parenthèse tendent vers zéro, d’après la 6° propriété (n° 15).

La quantité entre parenthèses a donc une limite qui est la somme des limites (première propriété n°9) el cetté Litniteres ti

Le premier facteur ax° croit indéfiniment puisque x croit indéfiniment.

Donc y, produit de deux facteurs dont le premier croit indéfiniment et dont le second a pour limite : (limite non nulle), croît indéfiniment (3° propriété nl)

De plus, comme la quantité entre parenthèses a pour limite 1, on peut prendre x assez grand pour que cette quantité diffère de sa limite d'aussi peu qu'on le voudra, et, par suite, soit positive. Pour ces valeurs de x, y sera alors du signe de son terme de degré le plus élevé ax. |

Ce raisonnement peut se faire sur un polynôme de

n'importe quel degré.