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DROLE RS RS SR D M "# N° à F5 " % à 7 Li d po 7 : 7%
la courbe, une longueur MC égale à p et on a le centre C du cercle.
479. Exempze [. — Rayon de courbure en un point d'une parabole. — Considérons la parabole ap
et cherchons le rayon de courbure en un point. Le dérivée de y est
la dérivée seconde est
On a done, en appliquant la formule qui donne le rayon de courbure,
ou
Appliquons cette formule à la recherche du rayon de courbure au sommet de la parabole ; Y on a alors æ = 0, d’où
VIPITES PETER
Au sommet, le rayon de courbure est donc égal au paramètre, c’est-à-dire qu’il est égal à 2 OF (fig. 60),
F étant le foyer.
æ Ilest alors facile de tracer D ce cercle de courbure qui ne traverse pas la courbe.
Fig. Go. Comme la parabole, au voisinagei de son sommet, se rapproche beaucoup de ce cercle, il y a avantage, au point de vue graphique, à le tracer.
480. Exempce IL. — AXayon de courbure en un point d'une ellipse. — Considérons une ellipse rapportée à ses axes
résolvons par rapport à y. On obtient D y———— Nés Va x ; $
et prenons le radical avec le signe (+) en ne considérant que les points de l’ellipse situés au-dessus de l’axe Ox. La dérivée de y est :
Var a? — x ue ne b a? — x?
RES a? — x? i ou ab "= —
Appliquant la formule qui donne le rayon de courbure, on a
Le radical du numérateur doit être pris avec le signe (—) car p
doit ètre positif. k En simplifiant le numérateur, on a
OÙr.
car dre bc
Ce qui donne Ie rayon de courbure en ün point de la courbe
d’abscisse x.
Appliquons la formule à la recherche des rayons de courbure
aux sommets À et B (fig. Gr).
Faisons pour cela x = actona + Vie Po NA [ae (a? = c?)f3 Fi a*b Fe a*b
a'b ou :
L2 (a) pe a C’est le rayon de courbure en A.
Pour le sommet B, faisons # = 0,ona us Via} RE Duteil ou (2) a?
481. Construction des centres de courbure aux sommets de l’ellipse. — Menons (fig. 6r) les tangentes aux sommets À et B. Nous formons ainsi un rectangle OACB, dont le sommet C est dans l’angle xOy. Joignons AB et par le point C menons CH perpendiculaire sur AB. Cette perpendiculaire coupe Ox en w : c’est le centre du cercle de courbure au point À ; la perpendiculaire coupe ensuite Oy ‘en w’: c'est le centre du cercle de courbure au point B.
En effet, nous allons prouver que
