CONSTRUCTIONS D'ABAQUES

191. Marche a suivre pour résoudre graphiquement une équation, — Soil à résoudre l'équation

fa) = 0. () Posons :

Résoudre léquation (1) c'est trouver les valeurs particulières de x pour lesquelles y — 0.

On construit, par suite, la courbe représentative de

La fonction (2) avec soin et on prend les points d’intersection de la courbe avec l'axe Ox; les abscisses de ces points sont les racines de l'équation donnée (1). En fait, il n y a pas besoin de construire avec soin toute la courbe, il suflit de construire exactement les portions de courbe au voisinage des points où elle rencontre l’axe Ox.

192. Exemple. — Résoudre l'équation du troisième degré L'——3% + 1 =D; Posons

et étudions la variation de cette fonction. Sa dérivée est OU OX 0 Dr -—-.1).

Cette dérivée s’annule pour x =Æ+ 1.

Nous avons donc trois intervalles à considérer :

(—æ,—1),(—1,+i)et(1,+o) dans chacun desquels la dérivée conserve un signe constant.

x croissant de —o à — 1, la dérivée est positive, la fonction croit. D'ailleurs pour x— — (n°147) le polynôme est infiniment grand et du signe de son terme de degré le plus élevé 4°, donc négatif.

Pour x —— 1, il est, maximum, égal à 3. Donc, y croit de crie, Quand'# croi deu, la dérivée est néga-

tive : la fonction décroit de 3 à un minimum égal à LE

Enfin, x croissant de 1 à + w , la dérivée est positive et la fonction croit de — 1 à + (car, pour x——+o,x* est positif).

La discussion se résume dans le tableau suivant :

a v* 7 leo — — croît = () 3 (max.) — décroît Ir 0 — 1 (min.) —- croît Fo Ju

Construisons la courbe représentative de la variation.

x croissant de — à 1,on à une branche de courbe ascendante CM (fig. 65) partant de linfini, à gauche en bas, et montant au maximum M (— 1,3).

æ variant de — 1 à + 1, la courbe redescend de M au minimum 72 (1,—1); pour remonter, quand x croit de 1 à +, de 77 jusqu à l'infini à droite, en haut.

La courbe coupe l’axe O7 au point D (o, 1).

On voit que la courbe coupe trois fois l’axe Or, l'équation donnée a donc trois racines : deux racines sont positives et données par les abscisses des points A et B, une racine est négative et donnée par l’abscisse du point C.

Fig. 65 bis.

Calculons. par exemple, l’abscisse du point A : pour ; , Ï P cela construisons avec soin l'arc D A m à une échelle plus grande. Faisons varier x de o à r (fig. 65 bis).

DS OYT Y = 0,001 — 0,3 1 — 0,701, = 0,2 Y —= 0,008 — 0,6 + 1 — 0,408, Li 059 Y —= 0,027 — 0,9 +1 = 0,127, PAU, Y —= 0,064 — 1,2 + 1 — — 0,136.

On joint par une courbe les différents points obtenus, la courbe coupe l'axe Ox en un point À et en mesurant l’abscisse O À à l’échelle choisie on a une valeur approchée d'une racine de l’équation.

Cette valeur est environ 0,33.

On calculerait de même les deux autres racines de l'équation.

193. Résolutions par abaques. — On appelle abaque un ensemble de courbes destiné à résoudre par des tracés graphiques des équations d’un type déterminé, ou à trouver, par le graphique, les valeurs numériques d'expressions alsébriques données.

Dans les problèmes de construction sur la répartition des tôles de semelles dans les poutres de fer double T {), on a à résoudre une équation de la forme

A = px + q. (1)

Voici un moyen simple de trouver les racines de cette équation incomplète du 3° degré. | Posons | y=n | (2) et

Y=PpX +. (3)

L'équation (2) représente une parabole cubique (n° 188); l'équation (3) est l'équation d’une droite (n° 1431).

On peut donc construire les courbes (2) et (3) et les abscisses des points de rencontre de la droite avec la parabole cubique sont les racines de Péquation donnée (1).

On construit (fig. 66) la parabole cubique

V De XL

avec soin une fois pour toutes; c'est l'abaque qui sert

() Voir : BRUNE, Cours de construction, p. 48 à 52 et PILLET, Traité de stabilité des constructions, p. 194.

à résoudre toutes les équations de la forme A — DT — q —=0.

Puis, on construit la droite y = px +

pour cela, il suffit de connaître deux de ses points :

Pour t=0, 0074, ce qui donne le point Q (og); pour-x —.1;,0n.a y —=p + 9, ce qui donne le point À (1,p +gq).

Joignant À à Q, on obtient la droite

Y = pr + 4;

les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite AQ sont les racines de l'équation cherchée.

Ainsi, dans la figure 66, Ia droite AQ coupe la parabole cubique en Fig. 66.

trois points M, N, R; l'équation donnée a donc trois racines : deux racines sont négatives et données par les abscisses des points N et R; une racine est positive et est donnée par l’'abscisse du point M. | | 194. Pratiquement, on construit une fois pour toutes, sur une feuille de papier fort, la parabole cubique (fig. 66 bis). Pour plus de, commodité, on peut prendre des échelles différentes sur les deux

Ne PP MO DE PRE NO SRE SA TRE PRE

axes ; il y a, en général avantage à prendre l'unité sur Ox beaucoup plus grande que sur Oy. |

On gradue Ox et Oy; puis, on trace la droite z parallèle à Oy à la distance 1. On porte sur elle les mêmes graduations que sur Oy.

End 3)

|” ñ 1319 3 P'q 12. 12 ; ie 10 10 à p 8] 8 î 7 25e

Fig. 66 bis.

On exécute tout ceci avec le plus grand soin et à la plus grande échelle possible. On a ainsi l’'abaque qui servira à résoudre toutes les équations incomplètes du troisième degré.

Pour résoudre l’équation