Notation, — La fonction primitive de f(x) ou

l’intécrale indéfinie de la différentielle f(x) dx se représente par le symbole :

[/ (eh:

qui se lit: somme de f(x) dx.

205. RemarQuUE. — Il est bon de remarquer quon dit: la fonction primitive d'une fonction donnée et, d'autre part, l'intégrale indéfinie d'une différentielle, suivant qu'on considère qu’on se donne soit la dérivée soit la différentielle.

Ces deux questions, au fond, n’en font qu'une présentée sous des aspects un peu différents.

206. Lemme. — Lorsque la dérivée d'une fonction est nulle, cette fonction est constante.

Soit, en effet, une fonction y de variable x et supposons que pour toutes les valeurs de x, on ait

AU

dx

Si on représente graphiquement la fonction y, on

di obtient une courbe et TE est le coeflicient angulaire fs

de la tangente en un point (x, y) de la courbe. Mais, par hypothèse, ce coeflicient angulaire est toujours nul ; la tangente à la courbe est donc toujours parallèlé à l’axe Ox (n° 167).

La seule courbe, dont la tangente est continuellement parallèle à Ox, est évidemment une droite parallèle à Ox:

La fonction est donc de la forme

y AA

ce quil fallait démontrer.

207. Théorème. — Toule fonction continue admet une infiniuté de fonctions primitives qui diffèrent. les unes des autres par des constantes.

Soit une fonction continue f (x) de variable x; démontrons d’abord qu'il existe wne fonction primitive. | Construisons la courbe représentative de cette fonction

Prenons sur la courbe (fig. 69) un point fixe À et menons l’ordonnée AA'; prenons ensuite, sur la courbe, un point variable M d'abscisse x et menons l’ordonnée MM.

Considérons Ia somme algébrique S des aires ombrées en les faisant précéder du signe (+) si elles sont situées au-dessus de Ox et du signe (—) si elles sont situées au-dessous de Ox, on a, dans notre figure, .

5 = AA'B — BCD + DMM',

D'une manière générale, $S est la somme des aires comprises entre la courbe, l'axe Ox et les deux ordonnées extrêmes, chaque aire étant positive ou négative suivant qu’elle est au-dessus ou au-dessous de l’axe Ox.

Cette somme S est une fonction de x car elle est bien déterminée dès qu'on se donne l’abscisse x du point M et elle varie quand M se déplace. |

Nous allons démontrer que

dS FES = f(x) = y:

Il y a deux cas à considérer :

BourLcer. Cours de math. 12

PANNE Ur à ee SU SE PPT in A DL PS NT PRE SET RTE RONEALIETE s - J r 2 Gi M à “ Loi | AL) Fes APT R

178 COURS*"DE MATHÉMATIQUES 208. — 1° Le point M pris sur la courbe «a une

ordonnée positive.

Prenonssur la courbe(fig.69)un pointN, voisin deM, dont l’ordonnée est (y + Ay) et l’abscisse x + Ax. Ax étant positif, la surface S a augmenté du trapèze curviligne MM'NN':

AS — surface MM'NNE

Menons par M une parallèle à Ox qui coupe N N’ en Pet par N une parallèle à Ox qui coupe MM’

en 10:

La surface AS est comprise entre l'aire du rectangle M P N'M' et l’aire du rectangle QN N'M', on a donc

Surf. MPN'M'< AS < Surf. QNN'M° (1)

Évaluons les deux surfaces M P N'M'et ON N'M': elles ont même base M'N'—AÂx et pour hauteur Pune MM'= yet l'autre NN—7+AYy.

On peut donc écrire la relation (r) ainsi :

y.Ax < AS < (y + Ay) Ax

divisons le tout par Ax, ce qui est permis puisqu'on

a supposé Ax positif, et nous avons :

AS a aa À

Mais, lorsque Ax tend vers zéro, Ay tend aussi vers zéro et par conséquent y + Ay tend vers 1

Le quotient Fe étant compris entre y et une quan- Ar

üté qui a pour limite y, a lui-même pour limite 7 lorsque Ax tend vers zéro.

sarne AS Ta Or la limite de est la dérivée —— on a donc x x

ds 12e de 209 — 2° Le pont M est dans une région de la

courbe où l'ordonnée est négative.

Prenons sur la courbe (fig. 70) un point À et menons

Eten 0:

l’ordonnée A À’; puis considérons un point M (x,y) tel que l’ordonnée M M’ soit négative. Donnons à x un accroissement Ax positif, y prendra un accroissement Ay et l’on aura le point N d’ordonnée N N’.

Dans ce cas, on a

AS = — surf. trap. curvuligne MM'NN',

car l'aire est située au-dessous de Ox.

Menons par M une parallèle à Ox qui coupe NN en P et par N une parallèle à Ox quicoupeMM'en0; la surface AS est comprise entre l'aire du rectangle M'N'NQ et l’aire du rectangle M'N'MPona y

Surf. QNN'M'<surf. MMNN'< surf. PMMINE

Évaluons les deux surfaces QN NM! et PMM!N' en faisant attention aux signes des ordonnées y et y AY qui sont négatives sur la figure,

Surf. QNN'M'— + NN'X MN = —(y+ Ay)A

Surf. PMM'N' = + MM'>< MN'——7yA%x.

Remplacant dans l'inégalité les surfaces par ces valeurs on'a, en remarquant que

Surf. MMNN'=—=—AS5, — (y + Ay) Ax <— AS <— yAx.

Or on sait que dans une inégalité on peut changer

les signes des membres pourvu que l’on change le sens de l'inégalité, on a donc

(y + Ay) Ax ASS yAX.

Divisons le tout par Ax positif et il vient, en sim- Ï :

plifiant, AS 1 AY —— 1) Y+AY> Ye Y Lorsque Ax tend vers zéro, Ay tend vers zéro et

par conséquent y+-Ay tend vers y et on a, comme plus haut, à la limite, |